B-树：

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    一种适合外查找的平衡多叉树（有些地方写的是B-树，注意不要误读 成"B减树"） 。

M阶的B树满足如下性质：

    1、根节点至少有两个孩子；

    2、每个非根节点有[[M/2],M]个孩子；

    3、每个非根节点有[[M/2],M-1]个关键字，并且以升序排列；

    4、key[i]和key[i+1]之间的孩子节点的值介于key[i]和key[i+1]之间；

    5、所有的叶子节点都在同一层。

M阶的B树----M=3

 插入：

        如果插入值后，该节点的关键字的个数大于规定的要求，则需要调整，即分裂（新创建一个节点，把位于关键字序列中的中位数（不包含中位数）以后的值包括子树都拷贝到新建的节点中，将中位数提出成树的根节点，中位数以前的值将成为中位数的左子树，后半部分成为右子树），如下图：

应用：运用于数据库和文件系统。

具体实现代码如下：

#pragma once

//使用外查找的平衡多叉树

//性质：

//   1、根节点至少有两个孩子

//   2、每个非根节点有[[M/2],M]个孩子

//   3、每个非根节点有[[M/2],M-1]个关键字，并且以升序排列

//   4、key[i]和key[i+1]之间的孩子节点的值介于key[i]和key[i+1]之间

//   5、所有的叶子节点都在同一层

template//B数一个节点的结构

struct BTreeNode

{

K _key[M];//关键字的个数为M-1，多留一个位置可以更加方便的求取中位数

BTreeNode* _subs[M+1];//方便插入时分裂，子树的大个数为M个，关键字比他少一个

BTreeNode* _parent;//指向父亲节点

size_t _size;//数组中存放的有效关键字的个数

BTreeNode()

:_parent(NULL)

,_size(0)

{

for(int i = 0;i < M+1;++i)

{

_subs[i] = NULL;

}

}

};

template//需要返回两个参数，使用结构体

struct Pair

{

K _first;

V _second;

Pair(const K& key = K(),const V& value = V())//缺省参数，会调用默认构造函数

:_first(key)

,_second(value)

{ }

};

template

class BTree

{

typedef BTreeNode Node;

public:

BTree()

:_root(NULL)

{ }

Pair Find(const K& key)//查找

{

if(_root == NULL)

return Pair(NULL,-1);

Node* parent = NULL;

Node* cur = _root;

while (cur)

{

int index = 0;

while (index < cur->_size)

{

if(key == cur->_key[index])

{

return Pair(cur,index);

}

else if(key < cur->_key[index])

{

break;

}

else

{

index++;

}

}

parent = cur;

cur = cur->_subs[index];

}

return Pair(parent,-1);

//找完也没找到，为了使得该情况下方便插入节点，因此返回panrent，插入节点插入在parent上

}

bool Insert(const K& key)//插入

{

//当前无节点

if(_root == NULL)

{

_root = new Node;//开辟一个新的节点

_root->_key[0] = key;

_root->_subs[0] = NULL;

_root->_parent = NULL;

_root->_size++;

return true;

}

Pair cur = Find(key);

if(cur._second != -1)//找到，则返回false，不插入重复关键字

{

return false;

}

//在节点cur中插入key和sub

Node* str = cur._first;

K newKey = key;

Node* sub = NULL;

while (1)

{

_InsertKey(str,newKey,sub);

if(str->_size < M)//关键字的数量小于M，则正确，直接返回

return true;

//插入数据后，该节点的关键字的个数大于规定的数量，需要调整，进行分裂

int mid = (str->_size - 1)/2;

int index = 0;

Node* temp = new Node;

//先拷贝下标为mid后的关键字

for(size_t i = mid + 1;i < str->_size;i++)

{

temp->_key[index++] = str->_key[i];

temp->_size++;

str->_key[i] = 0;

}

//接着拷贝下标为mid的关键字的sub

index = 0;

for(size_t i = mid + 1;i <= str->_size;i++)

{

temp->_subs[index++] = str->_subs[i];

if(str->_subs[i] != NULL)

str->_subs[i]->_parent = temp;

}

//更改str的大小

str->_size = (str->_size - 1)/2;

if(str->_parent == NULL)

{

_root = new Node;

_root->_key[0] = str->_key[mid];

str->_key[mid] = 0;

_root->_subs[0] = str;

_root->_subs[1] = temp;

_root->_size = 1;

str->_parent = _root;

temp->_parent = _root;

return true;

}

else

{

newKey = str->_key[mid];

str->_key[mid] = 0;

sub = temp;

str = str->_parent;

}

}

}

void InOrder()

{

_InOrder(_root);

cout<

}

protected:

void _InsertKey(Node* cur,const K& key,Node* sub)

{

int index = cur->_size - 1;

while (index >= 0 && cur->_key[index] > key)//若插入的节点比改位置的值小，则需要移位

{

cur->_key[index+1] = cur->_key[index];

cur->_subs[index+2] = cur->_subs[index+1];

--index;

}

//否则，直接插入

cur->_key[index + 1] = key;

cur->_subs[index+2] = sub;

if(sub != NULL)

sub->_parent = cur;

cur->_size++;

}

void _InOrder(Node* root)

{

if(root == NULL)

return;

for(int i = 0;i < root->_size;i++)

{

_InOrder(root->_subs[i]);

cout<_key[i]<<" ";

}

_InOrder(root->_subs[root->_size]);

}

protected:

Node* _root;

};

void BTreeTest()

{

BTree tree;

int a[] = {53,75,139,49,145,36,101};

for(int i = 0;i < sizeof(a)/sizeof(a[i]);i++)

{

tree.Insert(a[i]);

}

tree.InOrder();

}

运行结果：

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