一、整数加法

用位运算实现加法也就是计算机用二进制进行运算，32位的CPU只能表示32位内的数，这里先用1位数的加法来进行，在不考虑进位的基础上，如下

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1. 1 + 1 = 0

2. 1 + 0 = 1

3. 0 + 1 = 1

4. 0 + 0 = 0

很明显这几个表达式可以用位运算的“^”(按位异或)来代替，如下

1. 1 ^ 1 = 0

2. 1 ^ 0 = 1

3. 0 ^ 1 = 1

4. 0 ^ 0 = 0

要获取进位我们可以如下思考：

1. 0 + 0 = 0

2. 1 + 0 = 0

3. 0 + 1 = 0

4. 1 + 1 = 1

5. //换个角度看就是这样

6. 0 & 0 = 不进位

7. 1 & 0 = 不进位

8. 0 & 1 = 不进位

9. 1 & 1 = 进位

正好，在位运算中，我们用“<<”表示向左移动一位，也就是“进位”。那么我们就可以得到如下的表达式：//进位可以用如下表示：(x&y)<<1

到这里，我们基本上拥有了这样两个表达式

1. x^y //执行加法

2. (x&y)<<1 //进位操作

我们来做个2位数的加法，在不考虑进位的情况下

1. 11+01 = 100  // 本来的算法

3. // 用推算的表达式计算

4. 11 ^ 01 = 10

5. (11 & 01) << 1 = 10

7. //到这里 我们用普通的加法去运算这两个数的时候就可以得到 10 + 10 = 100

8. //但是我们不需要加法，所以要想别的方法，如果让两个数再按刚才的算法计算一次呢

9. 10 ^ 10 = 00

10. (10 & 10) << 1 = 100

到这里基本上就得出结论了，其实后面的那个 “00” 已经不用再去计算了，因为第一个表达式就已经算出了结果。

继续推理可以得出三位数的加法只需重复的计算三次得到第一个表达式的值就是计算出来的结果。

现总结如下：
定理1：设a，b为两个二进制数，则a+b = a^b + (a&b)<<1。
证明：a^b是不考虑进位时加法结果。当二进制位同时为1时，才有进位，因此 (a&b)<<1是进位产生的值，称为进位补偿。将两者相加便是完整加法结果。
定理2：使用定理1可以实现只用位运算进行加法运算。
证明：利用定理1中的等式不停对自身进行迭代。每迭代一次，进位补偿右边就多一位0，因此最多需要加数二进制位长度次迭代，进位补偿就变为0，这时运算结束。

加法的C代码如下：

int add(int a, int b)
{
   if (b == 0)
     return a;

   int sum = a ^ b;
   int carry = (a & b) << 1;

   return add(sum, carry);
}

二、整数减法

减法只是将减数取补码（按位取反，加1），然后相加。

减法的C代码如下：

int sub(int a, int b)
{
   return add(a, add(~b, 1));
}

三、整数乘法

乘法就是将乘数写成(2^0)*k0 + (2^1)*k1 + (2 ^2)*k2 + ... + (2^31)*k31，其中ki为0或1，然后利用位运算和加法就可以了。

乘法的C代码如下：

int mul(int a, int b)
{
   int res = 0;
   for (int i = 1; i; i <<= 1, a <<= 1)
    if (b & i)
      res = add(res, a);

   return res;
}

四、整数除法

除法就是由乘法的过程逆推，依次减掉（如果够减的话）divisor << 31、divisor << 30、... 、divisor << 2、divisor << 1、divisor（要保证不能溢出）减掉相应数量的除数就在结果加上相应的数量。

除法的C代码如下：

int div(int a, int b)
{
   int sign = 1;
   if (a & (1 << 31))
   {
     a = ~sub(a, 1);
     sign ^= 1;
   }
   if (b & (1 << 31))
   {
     b = ~sub(b, 1);
     sign ^= 1;
   }

   int res = 0;
   for (int i = 0x8000; i; i >>= 1)
     if ((a >> i & 0xFFFF) >= b)
     {
       res = add(res, 1 << i & 0xFFFF);
       a = sub(a, b << i & 0xFFFF);
     }

   if (!sign)
     res = ~sub(res, 1);

   return res;
}

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