chpt.3 补充——勒让德变换(Legendre transform))

在数学中，我们经常会将一个函数 表示为关于其导数 的函数形式。如果令 ，函数 则是我们变换后的函数；它是函数 的勒让德变换。

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勒让德变换是自身的逆变换。

勒让德变换是一个求最大值的过程。

只有当目标函数本身是凸函数时（ ）变换才有明确定义。

勒让德变换点和线之间二象关系的应用。即， 的函数关系也可以被等价地表示成点集 或者有确定斜率和截距的切线家族。

推广： 勒让德-芬切尔变换(Legendre-Fenchel transform) 。

定义一

其中 表示对变量 的最小上界。（当存在最大值时，即为最大值）

定义二

将 最大化，需：

所以最值的条件为：

因为 为 凸函数(convex function) ，该值亦是最大值：

根据最值条件，求变量 关于 的反函数 ，再代入 得到：

这是定义一的具体表述。

定义三

如果函数 和 的一阶导互为反函数：

它们被称为彼此的勒让德变换。其中 是微分算符。

该定义很好验证，

结合最值条件，就可以得到

根据上式不难看出， 与 的唯一性只精确到一个可加常数，所以常数的确定通常需要额外的约束条件：

（i）标准型

（ii）非标准型

后者多用于热力学。

表达式 是一条经过原点并与原函数在点 相切的直线。最大化 意味着我们要寻找在原函数上一点 ，使得

最大，因此切线与 轴的截距必须位于最下方。

点 在函数上，设切线方程为

利用斜率表达式，反求

代入切线方程，求解截距

其中 是 的勒让德变换。

可将切线表示为含有参数 的形式：

或者隐性地写成：

定义

条件

证明

对等式两边求从 到 的积分：

左边根据微积分基本原理得到

做代换

于是

对右边使用分部积分法

进一步整理得到

观察，等式左边是仅依赖 的表达式，而右边是仅依赖 的表达式，两者相等只可能双方均为常数：

令 ，整理后便可得到

并且

在热力学中，我们经常将一些物理量（内能，自由能等）用新的变量来表示。

一般技巧如下：

1. 找出新变量。根据勒让德变换的定义，新变量是原函数对其某原变量的偏导。

2. 反求原变量关于新变量的表达式。

3. 写出函数原变量与新变量的乘积。

4. 将的得到的积与原函数做差。

（例）

内能通常可被写成关于系统的熵（或常规熵），体积以及微粒个数的函数

根据压强的定义

所以当系统的熵和微粒数固定时，存在从函数 到函数 的勒让德变换（非标准型）。新变量是体积 。

利用压强定义反求 ，再执行步骤 3，4 便可得到

物理学家将该函数称为系统的 焓(enthalpy) 。

python中有没有求legendre多项式的解的函数

他们以后被命名 Adrien-Marie Legendre. 这 常微分方程 频繁地运用到 物理 并且其他技术领域。 特别是当在球状坐标解决 Laplace的等式 (和关连 偏微分方程) 时.

Legendre微分方程也许使用标准解决 电源串联 方法。 等式有 规则单一点 在 x= ± 1如此，级数解关于起源只将一般来说，聚合为 |x| 1. 当 n是整数，解答Pn是规则的(x) x=1也是正规兵在 x=-1和系列为这种解答终止(即。 是多项式)。

勒让德函数为什么正交

Legendre多项式

勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。当方程满足 |x| 1 时，可得到有界解（即解级数收敛）。并且当n 为非负整数，即n = 0, 1, 2,... 时，在x = ± 1 点亦有有界解。这种情况下，随n 值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组多项式称为勒让德多项式（Legendre polynomials）。1

定义

数学上，勒让德函数指以下勒让德微分方程的解：

为求解方便一般也写成如下施图姆-刘维尔形式（Sturm-Liouville form）:

上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里·勒让德而得名。勒让德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程。当试图在球坐标中求解三维拉普拉斯方程（或相关的其他偏微分方程）时，问题便会归结为勒让德方程的求解。

勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。当方程满足 |x| 1 时，可得到有界解（即解级数收敛）。并且当n为非负整数，即n= 0, 1, 2,... 时，在x= ± 1 点亦有有界解。这种情况下，随n值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组多项式称为勒让德多项式（Legendre polynomials）。

勒让德多项式Pn(x)是n阶多项式，可用罗德里格公式表示为：

正交性

勒让德多项式的一个重要性质是其在区间 −1 ≤x≤ 1 关于L内积满足正交性，即：1

其中 δmn为克罗内克δ记号，当m=n时为1，否则为0。 事实上，推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式{1,x,x, ...}进行格拉姆-施密特正交化。之所以具有此正交性是因为如前所述，勒让德微分方程可化为标准的Sturm-Liouville问题：

其中本征值 λ 对应于原方程中的n(n+1)。

其他性质奇偶性

当阶数k为偶数时， 为偶函数；当阶数k为奇数时， 为奇函数，即：2

递推关系

相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：

另外，考虑微分后还有以下递推关系：

其中最后一个式子在计算勒让德多项式的积分中较为有用。

移位多项式

移位勒让德多项式的正交区间定义在[0,1]上，即：

其显式表达式为：

相应的罗德里格公式为：

分数阶多项式

分数阶勒让德多项式通过将分数阶微分（定义参见分数微积分理论）和通过Γ函数定义的非整数阶乘代入罗德里格公式中来定义。

极限关系

大Q勒让德多项式→勒让德多项式

令大q雅可比多项式中的c=0，即勒让德多项式

令连续q勒让德多项式q-1得勒让德多项式

小q勒让德多项式→勒让德多项式

本词条内容贡献者为:

王伟 - 副教授 - 上海交通大学

责任编辑：科普云

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