(5)三次样条和B样条

首先什么是样条？ 是 区间上的 个不同的点，当满足如下两个条件的时候， 就称为一个 次的样条函数

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也就是说，在每个小区间上是 次多项式，并且整体是 阶连续的。注意这里对样条的定义并没有要求在每个点 上函数值相等，如果真的满足了 ，那么这就称为样条插值函数。

接下来有一个结论：

结论：对于 区间上由 个点所构建的所有的 次样条函数张成的函数空间 ，其维数 。

这也就是说，对于任意一个样条 ，它写成基函数的形式应该是

   

而实际上，根据基函数的选择不同，对应的样条当然也不同，其中比较有名的是三次样条和B样条。

我们考虑 这一情况，并且是插值样条，也就说 ，并且由于三次样条要求二阶连续，那么对于所有内部的节点 ，应该要求这些点处一阶导数和二阶导数应该左右相等。计算一下不难发现，这样还缺少两个条件，这里需要边界条件，根据边界条件的不同，插值样条也不同。如自然样条要求边界点的二阶导数为0。

构造三次样条插值函数的方法如下，可以从每个区间的二阶导数出发做一个线性插值，然后根据内部条件还有边界条件构造方程组，最后解一个三对角的行列式。

B样条的理论挺复杂的，在CAGD等领域是重点研究的方向。这里挖个坑，不写了。

总结：插值先告一段落了。之前写的都是一元函数的插值，实际上多元插值在研究领域中更重要，包括多元样条，有限元等。从下一篇开始，写数值积分。

csaps()函数对应python什么函数

return 值：只能返回一次，只要执行return函数就终止

返回值：没有类型限制，也没有个数限制

没有return：None

返回一个值

返回多个值：元组

你好，如何求三次样条插值的基函数？

三次样条函数:

定义:函数S(x)∈C2[a,b] ，且在每个小区间[ xj,xj+1 ]上是三次多项式，其中

a =x0 x1... xn= b 是给定节点，则称S(x)是节点x0,x1,...xn上的三次样条函数。

若在节点x j 上给定函数值Yj= f (Xj).( j =0, 1, , n) ，并成立

S(xj ) =yj .( j= 0, 1, , n) ，则称S(x)为三次样条插值函数。

实际计算时还需要引入边界条件才能完成计算。边界通常有自然边界（边界点的二阶导为0），夹持边界（边界点导数给定），非扭结边界（使两端点的三阶导与这两端点的邻近点的三阶导相等）。一般的计算方法书上都没有说明非扭结边界的定义，但数值计算软件如Matlab都把非扭结边界条件作为默认的边界条件。

数值分析中的样条函数:使用scipy.interpolate.splrep函数实现

在 数学 学科 数值分析 中， 样条 是一种特殊的 函数 ，由 多项式 分段定义。样条的 英语 单词spline来源于可变形的样条工具，那是一种在 造船 和 工程制图 时用来画出光滑形状的工具。在中国大陆，早期曾经被称做“齿函数”。后来因为工程学术语中“放样”一词而得名。

在 插值 问题中，样条插值通常比 多项式插值 好用。用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果，并且可以避免被称为 龙格现象 的数值不稳定的出现。并且低阶的样条插值还具有“保凸”的重要性质。

在 计算机科学 的 计算机辅助设计 和 计算机图形学 中，样条通常是指分段定义的多项式 参数曲线 。由于样条构造简单，使用方便，拟合准确，并能近似 曲线拟合 和交互式曲线设计中复杂的形状，样条是这些领域中曲线的常用表示方法。

scipy.interpolate.splrep（x，y，w = None，xb = None，xe = None，k = 3，task = 0，s = None，t = None，full_output = 0，per = 0，quiet = 1 ）

找到一维曲线的B样条曲线表示。

给定数据点集，确定区间上度k的平滑样条近似。(x[i], y[i])xb = x = xe

x，y： array_like

定义曲线y = f（x）的数据点。

w： array_like，optional

权重的严格正秩1数组，其长度与x和y相同。权重用于计算加权最小二乘样条拟合。如果y值中的误差具有矢量d给出的标准偏差，则w应为1 / d。默认值为1（len（x））。

xb, xe：float, optional

适合的间隔。如果为None，则它们分别默认为x [0]和x [-1]。

k： int，optional

花键拟合的程度。建议使用三次样条。甚至应避免使用k值，尤其是在s值小的情况下。1 = k = 5

task：{1, 0, -1}, optional

如果task == 0，则在给定的平滑因子s下找到t和c。

如果task == 1，则找到t和c作为平滑因子s的另一个值。对于同一组数据，必须先前有一个task = 0或task = 1的调用（t将存储为内部使用）

如果task = -1，则找到给定结点t的加权最小二乘样条曲线。这些应该是内部结，因为两端的结将自动添加。

s：float, optional

平滑条件。满足以下条件来确定平滑度：sum（（w （y-g）） * 2，axis = 0）= s其中g（x）是（x，y）的平滑插值。用户可以使用s来控制贴合度和贴合度之间的权衡。较大的s表示更平滑，而较小的s表示较不平滑。s的推荐值取决于权重w。如果权重代表y的标准偏差的倒数，则应在（m-sqrt（2 * m），m + sqrt（2 * m））范围内找到一个好的s值，其中m是x，y和w中的数据点。默认值：如果提供了权重，则s = m-sqrt（2 * m）。如果未提供权重，则s = 0.0（内插）。

t：array_like, optional

任务= -1所需的结。如果给出，则任务自动设置为-1。

f：full_outputbool, optional

如果非零，则返回可选输出。

per：bool, optional

如果非零，则将数据点视为周期为x [m-1]-x [0]的周期，然后返回平滑的周期样条近似。不使用y [m-1]和w [m-1]的值。

quiet：bool, optional

非零以禁止显示消息。不推荐使用此参数；请改用标准的Python警告过滤器。

Returns：

tck：tuple

元组（t，c，k），包含结向量，B样条系数和样条度。

fp：array, optional

样条近似值的平方残差的加权总和。

ier：int, optional

有关splrep成功的整数标志。如果ier = 0，则表示成功。如果[1,2,3]中的ier发生错误，但未引发。否则会引发错误。

msg：str, optional

对应于整数标志ier的消息。

下面插值一个函数

如何通过python实现三次样条插值

spline函数可以实现三次样条插值 x = 0:10; y = sin(x); xx = 0:.25:10; yy = spline(x,y,xx); plot(x,y,'o',xx,yy) 另外fnplt csapi这两个函数也是三次样条插值函数，具体你可以help一下！

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新闻名称：三次样条函数python 三次样条函数的例题
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