简介： 小波变换(wavelet transform，WT)相比短时傅里叶变换来说，由固定窗口大小变成了自适应的窗口大小去进行信号处理，能够提供一个随频率改变的“时间-频率”窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。

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不同于傅里叶变换，变量只有频率ω，小波变换有两个变量：尺度a和平移量 b。尺度a控制小波函数的伸缩，平移量 b控制小波函数的平移。尺度就对应于频率（反比），平移量 b就对应于时间。

离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT)

1.对于一般的时间序列来说，不是连续变换，而是一种离散信号，这就需要用到离散小波变换，离散小波变换就只是将尺度参数a和平移参数b离散化。小波变换很大程度上弥补了傅立叶分解在非平稳时间序列上的不足，通过将傅立叶分解的正余弦波替换为一组可衰减的正交基，能较好地表达出序列中的突变和非平稳部分。

2.离散小波变换的核心：用不同频率的滤波器分析不同频率的信号，主要是高通滤波器和低通滤波器。
DWT用小波基函数（wavelet fuction）和尺度函数（scale function）来分别分析高频信号和低频信号，也即高通滤波器和低通滤波器。
3.离散小波变换步骤：

1. 将信号x(n)通过具有脉冲响应h(n)的高通滤波器，过滤掉频率低于P/2的部分（信号最高频率为P），即为半带高通滤波。
2. 根据奈奎斯特定理进行下采样，间隔一个剔除样本点，信号留下一半样本点，尺度翻倍，将这一半进行高通滤波。
3. 进一步分解，就把高通滤波器的结果再次一分为二，进行高通滤波和低通滤波。
4. 不断反复进行上述操作，根据自己要求调整。

经过上述操作，保留了频率的时间位置信息。

注意：傅里叶变换在处理突变信号，需要利用大量的三角波去拟合信号，也会导致计算复杂，信号特征提取效果降低；而小波变换是一种自适应的三角波，就是一个三角波不断进行平移、伸缩，就可以契合信号的变换，从而更好提取特征。 小波变换python示例：

# 小波
sampling_rate = 1024
t = np.arange(0, 1.0, 1.0 / sampling_rate)
f1 = 100
f2 = 200
f3 = 300
f4 = 400
data = np.piecewise(t, [t< 1, t< 0.8, t< 0.5, t< 0.3],
                    [lambda t: 400*np.sin(2 * np.pi * f4 * t),
                     lambda t: 300*np.sin(2 * np.pi * f3 * t),
                     lambda t: 200*np.sin(2 * np.pi * f2 * t),
                     lambda t: 100*np.sin(2 * np.pi * f1 * t)])
wavename = 'cgau8'
totalscal = 256
fc = pywt.central_frequency(wavename)
cparam = 2 * fc * totalscal
scales = cparam / np.arange(totalscal, 1, -1)
[cwtmatr, frequencies] = pywt.cwt(data, scales, wavename, 1.0 / sampling_rate)
plt.figure(figsize=(8, 4))
plt.subplot(211)
plt.plot(t, data)
plt.xlabel("t(s)")
plt.title('shipinpu',  fontsize=20)
plt.subplot(212)
plt.contourf(t, frequencies, abs(cwtmatr))
plt.ylabel(u"prinv(Hz)")
plt.xlabel(u"t(s)")
plt.subplots_adjust(hspace=0.4)
plt.show()

离散小波变换python示例：  

import pywt
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

fs = 1000
N = 200
k = np.arange(200)
frq = k*fs/N
frq1 = frq[range(int(N/2))]

aa = []
for i in range(200):
    aa.append(np.sin(0.3*np.pi*i))
for i in range(200):
    aa.append(np.sin(0.13*np.pi*i))
for i in range(200):
    aa.append(np.sin(0.05*np.pi*i))
y = aa

wavename = 'db5'
cA, cD = pywt.dwt(y, wavename)
ya = pywt.idwt(cA, None, wavename, 'smooth')  # approximated component
yd = pywt.idwt(None, cD, wavename, 'smooth')  # detailed component
x = range(len(y))
plt.figure(figsize=(12, 9))
plt.subplot(311)
plt.plot(x, y)
plt.title('original signal')
plt.subplot(312)
plt.plot(x, ya)
plt.title('approximated component')
plt.subplot(313)
plt.plot(x, yd)
plt.title('detailed component')
plt.tight_layout()
plt.show()


# 图像单边谱
plt.figure(figsize=(12, 9))
plt.subplot(311)
data_f = abs(np.fft.fft(cA))/N
data_f1 = data_f[range(int(N/2))]
plt.plot(frq1, data_f1, 'red')

plt.subplot(312)
data_ff = abs(np.fft.fft(cD))/N
data_f2 = data_ff[range(int(N/2))]
plt.plot(frq1, data_f2, 'k')


plt.xlabel('pinlv(hz)')
plt.ylabel('amplitude')

plt.show()

离散小波变换把信号分成了低频近似和高频细节，分离信号高低频效果还可以。可以设置阈值就可将信号高频分离出来。

以上仅是个人理解！！！可以一起多多交流。

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