线性数据结构

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线性结构是一个有序数据元素的集合。

常用的线性结构

线性表，栈，队列，双队列，串(一维数组)。

非线性数据结构

关于广义表、数组(高维)，是一种非线性的数据结构。

常见的非线性结构有：二维数组，多维数组，广义表，树(二叉树等)，图

线性表（线性存储结构）

将具有“一对一”关系的数据“线性”地存储到物理空间中，这种存储结构就称为线性存储结构（简称线性表）。

使用线性表存储的数据，如同向数组中存储数据那样，要求数据类型必须一致，也就是说，线性表存储的数据，要么全部都是整形，要么全部都是字符串。一半是整形，另一半是字符串的一组数据无法使用线性表存储。

将数据依次存储在连续的整块物理空间中，这种存储结构称为顺序存储结构（简称顺序表）；数据分散的存储在物理空间中，通过一根线保存着它们之间的逻辑关系，这种存储结构称为链式存储结构（简称链表）

某一元素的左侧相邻元素称为“直接前驱”，位于此元素左侧的所有元素都统称为“前驱元素”；某一元素的右侧相邻元素称为“直接后继”，位于此元素右侧的所有元素都统称为“后继元素”

栈

栈又名堆栈，它是一种运算受限的线性表。限定仅在表尾进行插入和删除操作的线性表。这一端被称为栈顶，相对地，把另一端称为栈底。向一个栈插入新元素又称作进栈、入栈或压栈，它是把新元素放到栈顶元素的上面，使之成为新的栈顶元素；从一个栈删除元素又称作出栈或退栈，它是把栈顶元素删除掉，使其相邻的元素成为新的栈顶元素。

单调栈

单调栈中存放的数据应该是有序的，所以单调栈也分为单调递增栈和单调递减栈。

单调递增栈：单调递增栈就是从栈底到栈顶数据是从大到小。

单调递减栈：单调递减栈就是从栈底到栈顶数据是从小到大。

括号序列

括号序列是指由 ‘(’和‘)’ 组成的序列,假如一个括号序列中,包含相同数量的左括号和右括号,并且对于每一个右括号,在它的左侧都有左括号和他匹配,则这个括号序列就是一个合法括号序列,如(())( )就是一个合法括号序列,但(())(( )不是合法括号序列.

空串是合法的括号序列。

若S是合法的括号序列，则(S)是合法的括号序列。

若S和T分别是合法的括号序列，则ST也是合法的括号序列。

队列

队列是一种特殊的线性表，特殊之处在于它只允许在表的前端进行删除操作，而在表的后端进行插入操作，和栈一样，队列是一种操作受限制的线性表。进行插入操作的端称为队尾，进行删除操作的端称为队头。

单调队列

单调队列顾名思义就是一个有规律的队列，这个队列的规律是：所有在队列里的数都必须按递增（或递减）的顺序列队。

单调队列只能解决一个叫滑动窗口的问题。

双端队列

双端队列是一种具有队列和栈性质的数据结构，即可（也只能）在线性表的两端进行插入和删除。

折半搜索（二分）

前缀和

前缀和是一个数组的某项下标之前(包括此项元素)的所有数组元素的和。

差分

差分，一般在大数据里用在以时间为统计维度的分析中，其实就是下一个数值 ，减去上一个数值 。

二维前缀和：b[x,y]=b[x-1,y]+b[x,y-1]-b[x-1,y-1]+a[x,y]

矩阵求和：S(x1,y1,x2,y2)=b[x2,y2]-b[x1-1,y2]-b[x2,y1-1]+b[x1-1,x2-1]

二维差分：b[x,y]=a[x,y]+a[x-1,y-1]-a[x-1,y]-a[x,y-1]

修改矩形[x1,y1,x2,y2]等价于b[x1,y1]+=v,b[x2+1,y2+1]+=v,b[x1,y2+1]-=v,b[x2+1,y1]-=v。

基数排序（松氏基排）

基本解法

第一步

以LSD为例，假设原来有一串数值如下所示：

73, 22, 93, 43, 55, 14, 28, 65, 39, 81

首先根据个位数的数值，在走访数值时将它们分配至编号0到9的桶子中：

0

1 81

2 22

3 73 93 43

4 14

5 55 65

6

7

8 28

9 39

第二步

接下来将这些桶子中的数值重新串接起来，成为以下的数列：

81, 22, 73, 93, 43, 14, 55, 65, 28, 39

接着再进行一次分配，这次是根据十位数来分配：

0

1 14

2 22 28

3 39

4 43

5 55

6 65

7 73

8 81

9 93

第三步

接下来将这些桶子中的数值重新串接起来，成为以下的数列：

14, 22, 28, 39, 43, 55, 65, 73, 81, 93

这时候整个数列已经排序完毕；如果排序的对象有三位数以上，则持续进行以上的动作直至最高位数为止。

LSD的基数排序适用于位数小的数列，如果位数多的话，使用MSD的效率会比较好。MSD的方式与LSD相反，是由高位数为基底开始进行分配，但在分配之后并不马上合并回一个数组中，而是在每个“桶子”中建立“子桶”，将每个桶子中的数值按照下一数位的值分配到“子桶”中。在进行完最低位数的分配后再合并回单一的数组中。

区间算法

区间计算与传统的以数为对象的运算(即点计算)不同，它的运算对象是区间。

由于数字计算机只能使用有限位数表示实数，不能精确表达数学意义上的数值，所以数值的每一步计算都会产生误差。亿万次计算之后，计算机的“舍入规则”效应可能累积相当大的计算误差，导致数值计算结果精度严重损失。而区间计算的整个过程以“区间”为运算对象，提供区间形式的计算结果。这些运算区间在构造上保证包含数据的真实值，使得结果区间也能够保证包含数据运算的真实结果。

O(n)-O(1)

四毛子算法

一种（非常规）分块后暴力预处理以此来优化复杂度的思想。

RMQ

RMQ，即区间最值查询，这是一种在线算法，所谓在线算法，是指用户每次输入一个查询，便马上处理一个查询。RMQ算法一般用较长时间做预处理，时间复杂度为O(nlogn)，然后可以在O(1)的时间内处理每次查询。

RMQ标准算法：先规约成LCA（最近公共祖先），再规约成约束RMQ，O(n)-O(q) online。

首先根据原数列，建立笛卡尔树，从而将问题在线性时间内规约为LCA问题。LCA问题可以在线性时间内规约为约束RMQ，也就是数列中任意两个相邻的数的差都是+1或-1的RMQ问题。约束RMQ有O(n)-O(1)的在线解法，故整个算法的时间复杂度为O(n)-O(1)。

哈希表

unordered-map（基于哈希实现的映射）

除留余数法

取关键字被某个不大于散列表表长m的数p除后所得的余数为散列地址。即 H(key) = key MOD p,p<=m。不仅可以对关键字直接取模，也可在折叠、平方取中等运算之后取模。对p的选择很重要，一般取素数或m，若p选的不好，容易产生同义词。

双向平方试判（双平方探测法）

为了解决二次聚集现象发明了双平方探测法 当冲突产生时 向该冲突点的双向以步长i^2（1 4 9 16 25…） 探测若保证散列表的长度是素数且满足4K+3则可以遍历整个散列表从而不存在二次聚集现象。

STL

STL 是“Standard Template Library”的缩写，中文译为“标准模板库”。

#include

#include（推荐）

sort()

sort函数用于给一个数组进行排序,在algorithm库里。

使用方法为sort(v.begin(),v.end(),cmp)),这里的v.begin()是开始的指针位置，v.end()是结束的指针位置（这里的表示是左闭右开，也就是说v.end()并不在排序内容里），cmp可要可不要，如果使用的是自定义类型且没有重载运算符就一定需要。

这个数组的类型可以是自定义类型或者STL中的vector，需要注意的是如果采用的是自定义类型则需要重载运算符（也可以如上面说的一样用cmp）。

stack

模拟栈，在里。

stack A;

常用函数

A.push(a)；

入栈

A.pop()；

出栈

A.top()；

返回栈顶元素（但不出栈）

queue

模拟队列，在里。

queue A;

常用函数

A.push(a)；

入队

A.pop()；

出队

A.front()；

返回队首元素（但不出队）

deque

双端队列

priority queue

优先队列，一个类似于堆的数据结构,在里。

默认是大根堆，如果想让他是小根堆的话有两种办法，其中一种是重载小于号。

能以O(logN)复杂度完成插入元素，删除最值，寻找最值。

Priority_queue A;

常用函数

A.push(a)；

插入

A.pop()；

删除最值（默认为最大值）

A.top()；

返回最值（但不删除）

pair

一个包含两个可以不同的数据值的类型。

pair A;

往往Type1,Type2都是标准类型，但如果是自定义类型，需要重定义运算符；

常用函数

赋值:make_pair(t1,t2)；

返回对应的值:A.first,A.second；

vector

向量（Vector）是一个封装了动态大小数组的顺序容器。跟任意其它类型容器一样，它能够存放各种类型的对象。可以简单的认为，向量是一个能够存放任意类型的不定长的动态数组，在vector库里。

定义方式:vector A；

容器特性

顺序序列

顺序容器中的元素按照严格的线性顺序排序。可以通过元素在序列中的位置访问对应的元素。

动态数组

支持对序列中的任意元素进行快速直接访问，甚至可以通过指针算述进行该操作。提供了在序列末尾相对快速地添加/删除元素的操作。

能够感知内存分配器的（Allocator-aware）

容器使用一个内存分配器对象来动态地处理它的存储需求。

相当于是个动态数组，每次可以往末端插入一个元素，下标从0开始。

实现方式是每次不够大的时候暴力倍长，可以发现均摊是线性的。

常用操作

A.clear()；

清空

A.push_back(a)；

尾部添加元素

A.pop_back()；

尾部删除元素

A.empty()；

检查是否为空，空返回true

v.size()

这个一个unsigned int类型。也就是说对空的vector的size()-1会得到2^32-1。因此写代码的时候应带尽量避免这种写法。（或者强制类型转化成int）

v.resize()

其复杂度是O(max(1, resize()中的参数-原来的size()))的。

如果是大小变大的resize()，且可以指定新扩展的位置的值。若未指定则调用其默认构造函数，例如int之类的会默认是0。

v.clear()和vector().swap(v)的区别。

前者是假装清空了，实际内存没有被回收。

后者是真的回收了，不过需要和v.size()的大小成正比的时间。

后者的意思是使用vector<>()这句话调用无参的构造函数生成一个vector<>类型的对象，然后和v交换，之后其生存期结束被销毁会自动调用其~vector<>()析构函数。注意<>里面要写v一样的类型（例如int）

set

一个存储集合的容器，在set库里。

map相当于是一个下标可以是任何数值的数组，如果访问时没有赋值就会返回零。

内部使用红黑树（一种平衡树）实现。

当set<>中的第一个参数是自定义类型的时候需要重新定义小于号。

复杂度基本上是O(log(当前大小))。

定义方式:set A；

常用函数

A.insert(a)；

插入a

A.erase(a)；

删除a:

A.find(a)；

查找a，如果查找成功，返回对应指针，查找失败返回尾指针

A.begin(),A.end()；

返回头指针与尾指针，尾指针不存储具体内容

map

存储一个从key到value的映射。某种意义上就是“广义”数组，在map库里。

map相当于是一个下标可以是任何数值的数组，如果访问时没有赋值就会返回零。

内部使用红黑树（一种平衡树）实现。

当map<,>中的第一个参数是自定义类型的时候需要重新定义小于号。

复杂度基本上是O(log(当前大小))

map A;Type1是key类型，Type2是value类型。

可以通过A[B]=C这种形式赋值，B为Type1，C为Type2。

常用函数

A.clear()；

清空

A.empty()；

判断是否为空

A.insert(pair (C,D))；

插入（不建议这么写）

A.erase(B)；

删除，B可以是key值也可以是指针

A.begin(),A.end()；

头指针，尾指针

m[x]

哪怕你什么也不干只写一个m[x];也会新建一个点。

因此当你想知道map中是否存在这个映射的时候最好使用m.count(x)。

很多时候可以有效卡常。

multiset和multimap

是可重集合和可重映射。

有两个注意的：第一个是count函数复杂度变成了O(lg(集合大小)+答案)的，也就是如果有很多相同元素，那么count函数代价很大。

第二个是删除x的话，使用s.erase(x)会把所有权值为x的删除。

如果只想删掉一个需要s.erase(s.find(x))。

unordered_set和unordered_map

基于哈希实现的集合和映射。

基本上里面的类型只能是int,long long,double这种非自定义类型。 因为其基于哈希）

在c++11及以后存在，之前没有，乱用可能会CE。

空间常数比较大，时间常数不小，比数组访问慢很多，慎用。

不能顺序遍历，不支持lower_bound。

迭代器

只介绍set/map的迭代器。

bitset

高精度压位二进制。

一个用于处理二进制串的“数组”,在里。

所有时间复杂度是线性的操作，常数都是1/32大概。

下标从0开始。

bitset A;//n为长度；

支持所有位运算： << , >> , & , | , ^ ；

常用函数

A.count()；

统计1的个数

A.reset()；

清0

A.set()；

全赋为1

A.size()；

返回位数

lower bound()/upper bound()

lower_bound(v.begin(),v.end(),c)可以在一个有序数组当中找出刚好大于或等于c的数，在algorithm库里,可以使用自定义类型，用法与sort相类似。

upper_bound函数类似，这个函数则是在有序数组中找出刚好大于c的数。

next permutation/prev permutation(全排列算法)

algorithm头文件中包含了next_permutation(v.begin(),v.end())和prev_permutation(v.begin(),v.end())两个全排列函数，分别给出一个序列在全排列中的下一个和上一个序列(按字典序)，如果存在这样的序列则返回true，不存在则返回false，但仍会得到一个序列。

对于一个任意元素不相同的序列来说，正序排列是最小的排列方式，相应的逆序排列是最大的排列方式，以整数序列{1,2,3}为例，{1,2,3}是第一个排列，{3,2,1}则是最后一个排列，因此序列{1,2,3}没有上一个序列，{3,2,1}没有下一个序列。

pq.swap(pq2)

补充

namespace

命名空间，之后写代码长的时候用来避免变量名或者函数名重名的。主要是同一个namespace里面默认使用自己名字空间的东西。

std一般是教师专用账号。

对于107~108的数据，一般运行1s左右。

并非原创，仅是整理，请见谅

标题名称：线性数据结构
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