三分法求凸函数的极值

求凸函数的极值是一个常见的问题，常见的方法如梯度下降法，牛顿法等，今天我们介绍一种三分法来求一个凸函数的极值问题。

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对于如下图的一个凸函数$f(x),x\in [left,right]$,其中lm和rm分别为区间[left,right]的三等分点，我们发现如果f(lm)f(rm)时，最值的横坐标x一定在[lm,right]的区间内。

利用这个性质，我们就可以在缩小区间的同时向目标点逼近，从而得到极值。举一个例子，如下图在直角坐标系中有一条抛物线y=ax^2+bx+c和一个点P(x,y)，求点P到抛物线的最短距离d，其中-200≤a,b,c,x,y≤200。我们另pivot代表抛物线的对称抽，可以发现当Xpivot，我们可以取left = pivot,right = inf, 反之left = -inf , right = pivot, 其距离恰好满足凸形函数。而我们要求的最短距离d，正好就是这个凸形函数的极值。

望采纳，谢谢。

凸函数有最小值还是最大值

. 紧集上的连续严格凸函数是有唯一极值点的。可以用反证法证明，假如x1, x2都是极值点，那么因为严格凸

与x1,x2是极值点矛盾。证毕。2. 开集上的严格凸函数不一定有极值点。比如

通过求二阶导可以验证其在(-∞,0]是凸的，但是不存在极值。3. 有界集上的连续可微函数是一定能通过梯度下降法找到极值点的，因为有如下定理（见, Page 38)："设pk是下降方向（不一定是梯度），ak是步长并满足Wolfe条件，设目标函数f在Rn上有界，且在开集N上连续可微，N是包含{x: f(x)\u0026lt;=f(x0), x0是初始点}的集合，假设▽f在N上Lipschitz连续，那么有"

其中θk是下降方向pk与-▽f的夹角。通过这条定理可以证明，梯度下降法和牛顿法，逆牛顿法都是收敛的。(1) 令pk = -▽f 可推出

，故梯度下降法收敛(2) 令

可推出

，故牛顿法收敛。(3) 令

，其中Bk是对称矩阵，可推出 【多元连续严格凸函数是否存在唯一极值点】

，故拟牛顿法收敛。4. 理论上步长ak应该是计算出来的，在梯度下降法实际应用中通常都是把步长选取一个较小的ak(取大了会震荡)，是一个折衷的办法，但是实际效果还不错。参考文献 Numerical Optimization 2ed. Chapter 3.

■网友的回复

看到这么多中文数学术语吓到了……如果这个优化问题定义在凸集合上的话：strictly convexity（严格凸性，感谢 @netfish 指出和strongly convex的区别）保证了函数一定有唯一的极值点，因为如果函数有两个极值点a和b都在集合内部，那线段上的所有点函数值都是f(a)，也就是这条线段上函数的曲率为0，与严格凸性的定义（曲率/二阶导处处非负）相悖。即使最优解在集合边界也不会出现多个解，因为严格凸函数的等高线不可能是直线段（否则这个方向上的二阶导为0），而凸集合的边界不可能是“凹”的，所以不存在边界多点有同样函数值的情况。所有的凸函数都一定能用精确梯度下降（gradient descent with optimal line search）找到（一个，如果有多个的话）最优解，因为只有在最优解附近的导数是0梯度下降才会停下来，除非最优无法达到（比如R++上的1/x这种函数，最优在无穷）——不过题主要求函数定义在紧集合上了，所以没有这种问题。因为如果梯度下降到了一个a点，如果其负梯度方向和集合在这一点的边界的切线反向（大概是指向外面），则它就是最优；否则，梯度下降肯定不能在这收敛——会沿着集合边缘下降找到真正的最优解。如果问题不是定义在凸集合，那就不好说了：比如在二维平面上定义f(x,y)=x^2+y^2（严格凸性）在Y轴右边有一个开口朝左的月牙形集合，在这个上面做优化，梯度下降就有可能找到月牙的任何一个端点（甚至极端情况下可能找到月牙的中间），这取决于初始化的位置。







文

凸函数一定有最大值吗

如果函数 在区间 上是凸函数，那么对于区间 内的任意 ， ，…， ，都有 .若 在区间 上是凸函数，那么在 中， 的最大值是________________. 由新定义知

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