数据结构（十四）——二叉树

一、二叉树简介

1、二叉树简介

二叉树是由n（n>=0）个结点组成的有序集合，集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不相交的二叉树组成。
二叉树的五种形态：

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2、二叉树的存储结构模型

树的另一种表示法：孩子兄弟表示法
A、每个结点都有一个指向其第一个孩子的指针
B、每个结点都有一个指向其第一个右兄弟的指针

孩子兄弟表示法的特性：
A、能够表示任意的树形结构
B、每个结点包含一个数据成员和两个指针成员
C、孩子结点指针和兄弟结点指针构成树杈

3、满二叉树

如果二叉树中所有分支结点的度数都为2，并且叶子结点都在统一层次上，则二叉树为满二叉树。

4、完全二叉树

如果一棵具有n个结点的高度为k的二叉树，树的每个结点都与高度为k的满二叉树中编号为1——n的结点一一对应，则二叉树为完全二叉树。
完全二叉树的特性：
A、同样结点数的二叉树，完全二叉树的高度最小
B、完全二叉树的叶子结点仅出现在最下边两层，并且最底层的叶子结点一定出现在左边，倒数第二层的叶子结点一定出现在右边。
C、完全二叉树中度为1的结点只有左孩子。

5、二叉树的特性

A、在二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点（i>=1）。
B、高度为k的二叉树，最多有2^k-1个结点（k>=0）。
C、对任何一棵二叉树，如果其叶结点有n个，度为2的非叶子结点有m个，则
n = m + 1。
D、具有n个结点的完全二叉树的高度为logn + 1
E、对于有n个结点的完全二叉树，按层次对结点进行编号（从上到下，从左到右），对于任意编号为i的结点：

二、二叉树的操作

1、二叉树的存储结构实现

二叉树结点包含四个固定的成员：结点的数据域、指向父结点的指针域、指向左子结点的指针域、指向右子结点的指针域。结点的数据域、指向父结点的指针域从TreeNode模板类继承而来。
二叉树结点的实现：

template 
  class BTreeNode:public TreeNode
  {
  public:
    BTreeNode* m_left;//左子结点
    BTreeNode* m_right;//右子结点
    BTreeNode()
    {
        m_left = NULL;
        m_right = NULL;
    }

    //工厂方法，创建堆空间的结点
    static BTreeNode* NewNode()
    {
      BTreeNode* ret = new BTreeNode();
      if(ret != NULL)
      {
          //堆空间的结点标识为true
          ret->m_flag = true;
      }
      return ret;
    }
  };

2、二叉树的结点查找

A、基于数据元素的查找
定义基于数据元素查找的函数

virtual BTreeNode* find(BTreeNode* node, const T& value)const
      {
          BTreeNode* ret = NULL;
          //如果根节点node
          if(node != NULL)
          {
              if(node->value == value)
              {
                  ret = node;
              }
              else
              {
                  //查找左子树
                  if(ret == NULL)
                  {
                      ret = find(node->m_left, value);
                  }
                  //如果左子树没有找到，ret返回NULL，查找右子树
                  if(ret == NULL)
                  {
                      ret = find(node->m_right, value);
                  }
              }
          }
          return ret;
      }

    BTreeNode* find(const T& value)const
    {
        return find(root(), value);
    }

B、基于结点的查找
定义基于结点查找的函数

virtual BTreeNode* find(BTreeNode* node, BTreeNode* obj)const
      {
          BTreeNode* ret = NULL;
          if(node != NULL)
          {
              //根节点node为目标结点
              if(node == obj)
              {
                  ret = node;
              }
              else
              {
                  //查找左子树
                  if(ret == NULL)
                  {
                      ret = find(node->m_left, obj);
                  }
                  //如果左子树没有找到，ret返回NULL，继续查找右子树
                  if(ret == NULL)
                  {
                      ret = find(node->m_right, obj);
                  }
              }
          }
          return ret;
      }
    BTreeNode* find(TreeNode* node)const
    {
        return find(root(), dynamic_cast*>(node));
    }

3、二叉树的结点插入

根据插入的位置定义二叉树结点的位置枚举类型：

  enum BTNodePos
    {
        Any,
        Left,
        Right
    };

在node结点的pos位置插入newnode结点的功能函数如下：

virtual bool insert(BTreeNode* newnode, BTreeNode* node, BTNodePos pos)
      {
          bool ret = true;
          //插入的位置为Any
          if(pos == Any)
          {
              //如果没有左子结点，插入结点作为左子结点
              if(node->m_left == NULL)
              {
                  node->m_left = newnode;
              }
              //如果有左子结点，没有右子结点，插入结点作为右子结点
              else if(node->m_right == NULL)
              {
                  node->m_right = newnode;
              }
              //如果node结点的左右子结点不为空，插入失败
              else
              {
                  ret = false;
              }
          }
          else if(pos == Left)
          {
              //如果指定插入左子结点，如果没有左子结点，插入结点
              if(node->m_left == NULL)
              {
                  node->m_left = newnode;
              }
              else
              {
                  ret = false;
              }
          }
          else if(pos == Right)
          {
              //如果指定插入右子结点，如果没有右子结点，插入结点
              if(node->m_right == NULL)
              {
                  node->m_right = newnode;
              }
              else
              {
                  ret = false;
              }
          }
          else
          {
              ret = false;
          }
          return ret;
      }

A、插入新结点

 //插入结点，无位置要求
    bool insert(TreeNode* node)
    {
       return insert(dynamic_cast*>(node), Any);
    }
    //插入结点，指定插入位置
    virtual bool insert(BTreeNode* node, BTNodePos pos)
    {
        bool ret = true;
        if(node != NULL)
        {
            if(this->m_root == NULL)
            {
                node->parent = NULL;
                this->m_root = node;
            }
            else
            {
               BTreeNode* np = find(node->parent);
               if(np != NULL)
               {
                   ret = insert(dynamic_cast*>(node), np, pos);
               }
               else
               {
                   THROW_EXCEPTION(InvalidParameterException, "Parameter invalid...");
               }
            }
        }
        else
        {
            THROW_EXCEPTION(InvalidParameterException, "Parameter invalid...");
        }
        return ret;
    }

B、插入数据元素

 //插入数据，指定插入位置和父结点
    virtual bool insert(const T& value, TreeNode* parent, BTNodePos pos)
    {
        bool ret = true;
        BTreeNode* node = BTreeNode::NewNode();
        if(node != NULL)
        {
            node->parent = parent;
            node->value = value;
            ret = insert(node, pos);
            if(!ret)
            {
                delete node;
            }
        }
        else
        {
            THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "No enough memory...");
        }

        return ret;
    }
    //插入数据，指定父结点
    bool insert(const T& value, TreeNode* parent)
    {
        return insert(value, parent, Any);
    }

4、二叉树的结点删除

删除功能函数的定义：

virtual void remove(BTreeNode* node, BTree* ret)
      {
          ret = new BTree();
          if(ret == NULL)
          {
              THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "No enough memory...");
          }
          else
          {
              if(node == root())
              {
                  this->m_root = NULL;
              }
              else
              {
                  BTreeNode* parent = dynamic_cast*>(node->parent);
                  if(parent->m_left == node)
                  {
                      parent->m_left = NULL;
                  }
                  else if(parent->m_right == node)
                  {
                      parent->m_right = NULL;
                  }
                  node->parent = NULL;
              }
              ret->m_root = node;
          }
      }

A、基于数据元素值删除

 //根据数据元素删除结点
    SharedPointer< Tree > remove(const T& value)
    {
        BTree* ret = NULL;
        BTreeNode* node = find(value);
        if(node == NULL)
        {
            THROW_EXCEPTION(InvalidParameterException, "No value...");
        }
        else
        {
            remove(node, ret);
        }
        return ret;
    }

B、基于结点删除

 //根据结点删除结点
    SharedPointer< Tree > remove(TreeNode* node)
    {
        BTree* ret = NULL;
        node = find(node);
        if(node != NULL)
        {
            remove(dynamic_cast*>(node), ret);
        }
        else
        {
            THROW_EXCEPTION(InvalidParameterException, "No node...");
        }
        return ret;
    }

5、二叉树的清空

将二叉树中所有在堆空间分配的结点销毁。
清除node结点为根节点的二叉树的功能函数：

virtual void free(BTreeNode* node)
      {
          if(node != NULL)
          {
              free(node->m_left);
              free(node->m_right);
          }
          //如果结点在堆空间分配
          if(node->flag())
          {
              delete node;
          }
      }
    //清空树
    void clear()
    {
        free(root());
        this->m_root = NULL;
    }

6、二叉树的属性操作

A、树中结点的数量
定义计算某个结点为根结点的树的结点的数量

 int count(BTreeNode* node) const
      {
          int ret = 0;
          if(node != NULL)
          {
              ret = count(node->m_left) + count(node->m_right) + 1;
          }
          return ret;
      }
    //树的结点数目访问函数
    int count()const
    {
        return count(root());
    }

B、树的高度
获取node结点为根结点的二叉树的高度的功能函数：

 int height(BTreeNode* node) const
      {
          int ret = 0;
          if(node != NULL)
          {
              int l = height(node->m_left);
              int r = height(node->m_right);
              ret = ((l > r)?l:r) + 1;
          }
          return ret;
      }
    //树的高度访问函数
    int height()const
    {
        return height(root());
    }

C、树的度
获取node为根结点的二叉树的度的功能函数：

 int degree(BTreeNode* node) const
      {
          int ret = 0;
          if(node != NULL)
          {
              //根结点的度数
              ret = (!!node->m_left + !!node->m_right);
              //左子树的度
              if(ret < 2)
              {
                  int l = degree(node->m_left);
                  if(ret < l)
                  {
                      ret = l;
                  }
              }
              //右子树的度数
              if(ret < 2)
              {
                  int r = degree(node->m_left);
                  if(ret < r)
                  {
                      ret = r;
                  }
              }
          }
          return ret;
      }
    //树的度访问函数
    int degree()const
    {
        return degree(root());
    }

7、二叉树的层次遍历

二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问依次，且仅被访问一次。
根据游标思想，提供一组遍历的先关函数，按层次访问二叉树中的数据元素。

引入一个队列，辅助遍历二叉树。
LinkedQueue*> m_queue;
层次遍历的过程如下：

 //将根结点压入队列
    bool begin()
    {
      bool ret = (root() != NULL);
      if(ret)
      {
          //清空队列
          m_queue.clear();
          //根节点加入队列
          m_queue.add(root());
      }
      return ret;
    }
    //判断队列是否为空
    bool end()
    {
        return (m_queue.length() == 0);
    }

    //队头元素弹出，将队头元素的孩子压入队列中
    bool next()
    {
      bool ret = (m_queue.length() > 0);
      if(ret)
      {
          BTreeNode* node = m_queue.front();
          m_queue.remove();//队头元素出队
          //将队头元素的子结点入队
          if(node->m_left != NULL)
          {
              m_queue.add(node->m_left);
          }
          if(node->m_right != NULL)
          {
              m_queue.add(node->m_right);
          }
      }
      return ret;
    }
    //访问队头元素指向的数据元素
    T current()
    {
      if(!end())
      {
          return m_queue.front()->value;
      }
      else
      {
          THROW_EXCEPTION(InvalidOperationException, "No value at current Node...");
      }
    }

8、二叉树的克隆

定义克隆node结点为根结点的二叉树的功能函数：

BTreeNode* clone(BTreeNode* node)
      {
          BTreeNode * ret = NULL;
          if(node != NULL)
          {
              ret = BTreeNode::NewNode();
              if(ret != NULL)
              {
                  ret->value = node->value;
                  //左子树
                  ret->m_left = clone(node->m_left);
                  //右子树
                  ret->m_right = clone(node->m_right);
                  //如果左子树不为空，设置左子树的父结点
                  if(ret->m_left != NULL)
                  {
                      ret->m_left->parent = ret;
                  }
                  //如果右子树不为空，设置右子树父结点
                  if(ret->m_right != NULL)
                  {
                      ret->m_right->parent = ret;
                  }
              }
              else
              {
                  THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "No enough memory...");
              }
          }
          return ret;
      }
    SharedPointer> clone()const
    {
        BTree* ret = new BTree();
        if(ret != NULL)
        {
            ret->m_root = clone(root());
        }
        else
        {
            THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "No enough memory...");
        }
        return ret;
    }

9、二叉树的比较

判断两棵二叉树中的数据元素是否对应相等
定义二叉树相等比较的功能函数：

bool equal(BTreeNode* l, BTreeNode* r)const
      {
          bool ret = true;
          //二叉树自比较
          if(l == r)
          {
              ret = true;
          }
          //两棵二叉树都不为空
          else if(l != NULL &&  r != NULL)
          {
             ret = (l->value == r->value) && (equal(l->m_left, r->m_left)) && (l->m_right, r->m_right);
          }
          //有一棵二叉树为空，一棵二叉树不为空
          else
          {
              ret = false;
          }
          return ret;
      }

    bool operator ==(const BTree& tree)const
    {
        return equal(root(), tree.root());
    }

    bool operator !=(const BTree& tree)const
    {
        return !(*this == tree);//使用==比较
    }

10、二叉树的相加

将当前二叉树与参数btree二叉树中对应的数据元素相加，返回一棵在堆空间创建的新的二叉树。
二叉树相加实例如下：

定义将两棵二叉树相加的功能函数：

 BTreeNode* add(BTreeNode* l, BTreeNode* r)const
      {
          BTreeNode* ret = NULL;
          //二叉树l为空
          if(l == NULL && r != NULL)
          {
            ret = clone(r);
          }
          //二叉树r为空
          else if(l != NULL && r == NULL)
          {
            ret = clone(l);
          }
          //二叉树l和二叉树r不为空
          else if(l != NULL && r != NULL)
          {
              ret = BTreeNode::NewNode();
              if(ret != NULL)
              {
                  //根节点数据元素相加
                  ret->value = l->value + r->value;
                  //左子树相加
                  ret->m_left = add(l->m_left, r->m_left);
                  //右子树相加
                  ret->m_right = add(l->m_right, r->m_right);
                  //左子树不为空，设置左子树的父结点为当前结点
                  if(ret->m_left != NULL)
                  {
                      ret->m_left->parent = ret;
                  }
                  //右子树不为空，设置右子树的父结点为当前结点
                  if(ret->m_right != NULL)
                  {
                      ret->m_right->parent = ret;
                  }
              }
              else
              {
                  THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "No enough memory...");
              }
          }
          return ret;
      }
        SharedPointer> add(const BTree& other)const
    {
        BTree* ret = new BTree();
        if(ret != NULL)
        {
            ret->m_root = add(root(), other.root());
        }
        else
        {
            THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "No enough memoty...");
        }
        return ret;
    }

三、二叉树的典型遍历方式

二叉树有先序、中序、后序三种遍历方式，三种遍历方法的不同主要是取决于根节点的遍历顺序。

1、前序遍历

如果二叉树为空，则无操作，直接返回。
如果二叉树非空，则执行以下操作：
A、访问根结点；
B、先序遍历左子树；
C、先序遍历右子树。
先序遍历实现代码：

void preOrderTraversal(BTreeNode* node, LinkedQueue*>& queue)
{
      if(node != NULL)
      {
          queue.add(node);
          preOrderTraversal(node->m_left, queue);
          preOrderTraversal(node->m_right, queue);
      }
 }

先序遍历二叉树示例：

2、中序遍历

如果二叉树为空，则无操作，直接返回。
如果二叉树非空，则执行以下操作：
A、中序遍历左子树；
B、访问根结点；
C、中序遍历右子树。
中序遍历实现代码：

void inOrderTraversal(BTreeNode* node, LinkedQueue*>& queue)
{
  if(node != NULL)
  {
      inOrderTraversal(node->m_left, queue);
      queue.add(node);
      inOrderTraversal(node->m_right, queue);
  }
}

中序遍历二叉树示例：

3、后序遍历

如果二叉树为空，则无操作，直接返回。
如果二叉树非空，则执行以下操作：
A、后序遍历左子树；
B、后序遍历右子树；
C、访问根结点。
后序遍历实现代码：

void postOrderTraversal(BTreeNode* node, LinkedQueue*>& queue)
{
  if(node != NULL)
  {
      postOrderTraversal(node->m_left, queue);
      postOrderTraversal(node->m_right, queue);
      queue.add(node);
  }
}

后序遍历二叉树示例：

4、遍历算法的封装

定义遍历方式的枚举类型：

  enum BTTraversal
    {
        PreOder,
        InOder,
        PostOder
    };

根据参数order选择遍历的方式，返回数组保存了二叉树遍历结点

 SharedPointer> traversal(BTTraversal order)
    {
        DynamicArray* ret = NULL;
        LinkedQueue*> queue;//保存遍历二叉树的结点
        switch (order)
        {
            case PreOder:
                preOrderTraversal(root(), queue);
                break;
            case InOder:
                inOrderTraversal(root(), queue);
                break;
            case PostOder:
                postOrderTraversal(root(), queue);
                break;
            default:
                THROW_EXCEPTION(InvalidParameterException, "Parameter invalid...");
                break;
        }
        ret = new DynamicArray(queue.length());
        if(ret != NULL)
        {
            for(int i = 0; i < ret->length(); i++, queue.remove())
            {
                ret->set(i, queue.front()->value);
            }
        }
        else
        {
            THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "No enough memory...");
        }

        return ret;
    }

四、线索化二叉树

1、线索化二叉树简介

线索化二叉树是将二叉树转换为双向链表的过程（将非线性的二叉树转换为线性的链表）。
二叉树的线索化能够反映某种二叉树的遍历次序（结点的先后访问次序）。
线索化二叉树的过程：

二叉树线索化的实现：

通过某种遍历方式遍历二叉树，根据遍历次序将二叉树结点依次存储到辅助队列中，最后将辅助队列中保存的结点依次出队并连接（连接时，原二叉树结点的m_left指针作为双向链表结点的m_prev指针，指向结点的前驱；原二叉树结点的m_right结点作为双向链表结点的m_next指针，指向结点的后继），成为双向链表。

void traversal(BTTraversal order, LinkedQueue*>& queue)
    {
        switch (order)
        {
        case PreOrder:
            preOrderTraversal(root(), queue);
            break;
        case InOrder:
            inOrderTraversal(root(), queue);
            break;
        case PostOrder:
            postOrderTraversal(root(), queue);
            break;
        case LevelOrder:
            levelOrderTraversal(root(), queue);
            break;
        default:
            THROW_EXCEPTION(InvalidParameterException, "Parameter invalid...");
            break;
        }
    }

2、层次遍历算法

增加层次遍历方式LevelOrder到遍历方式枚举类型中。

enum BTTraversal
{
    PreOrder,//先序遍历
    InOrder,//中序遍历
    PostOrder,//后序遍历
    LevelOrder//层次遍历
};

层次遍历算法：
A、将根结点入队
B、访问队头元素指向的二叉树结点
C、将队头元素出队，队头元素的孩子入队
D、判断队列是否为空，如果非空，继续B；如果为空，结束。

层次遍历二叉树的实例如下：

//层次遍历
    void levelOrderTraversal(BTreeNode* node, LinkedQueue*>& queue)
    {
        if(node != NULL)
        {
            //辅助队列
            LinkedQueue*> temp;
            //根结点压入队列
            temp.add(node);
           while(temp.length() > 0)
            {
                BTreeNode* n = temp.front();
                //如果左孩子不为空，将左孩子结点入队
                if(n->m_left != NULL)
                {
                    temp.add(n->m_left);
                }
                //如果右孩子不为空，将右孩子结点入队
                if(n->m_right != NULL)
                {
                    temp.add(n->m_right);
                }
                //将队列的队头元素出队
                temp.remove();
                //将队列的队头元素入队输出队列
                queue.add(n);
            }
        }
    }

3、队列中结点的连接

将队列中的所有结点连接成为一个线性的双向链表

void connect(LinkedQueue*>& queue)
    {
        BTreeNode* ret = NULL;
        if(queue.length() > 0)
        {
            //返回队列的队头元素指向的结点作为双向链表的首结点
            ret = queue.front();
            //双向链表的首结点的前驱设置为空
            ret->m_left = NULL;
            //创建一个游标结点，指向队列队头
            BTreeNode* slider = queue.front();
            //将队头元素出队
            queue.remove();
           while(queue.length() > 0)
            {
                //当前游标结点的后继指向队头元素
                slider->m_right = queue.front();
                //当前队头元素的前驱指向当前游标结点
                queue.front()->m_left = slider;
                //将当前游标结点移动到队头元素
                slider = queue.front();
                //将当前队头元素出队，继续处理新的队头元素
                queue.remove();
            }
            //双向链表的尾结点的后继为空
            slider->m_right = NULL;
        }
    }

4、线索化二叉树的实现

线索化二叉树函数接口的设计：
BTreeNode* thread(BTTraversal order)
A、根据参数order选择线索化的方式（先序、中序、后序、层次）
B、返回值是线索化二叉树后指向链表首结点的指针
C、线索化二叉树后，原有的二叉树被破坏，二叉树的所有结点根据遍历次序组建为一个线性的双向链表，对应的二叉树应为空。
线索化二叉树的流程：

 BTreeNode* thread(BTTraversal order)
    {
        BTreeNode* ret = NULL;
        LinkedQueue*>* queue;
        //遍历二叉树，并按遍历次序将结点保存到队列
        traversal(order, queue);
        //连接队列中的结点成为双向链表
        ret = connect(queue);
        //将二叉树的根节点置空
        this->m_root = NULL;
        //将游标遍历的辅助队列清空
        m_queue.clear();
        //返回双向链表的首结点
        return ret;
    }

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网站名称：数据结构（十四）——二叉树-创新互联
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