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验证码（CAPTCHA）全称为全自动区分计算机和人类的公开图灵测试（Completely Automated Public Turing test to tell Computersand Humans Apart）。从其全称可以看出，验证码用于测试用户是真实的人类还是计算机机器人。

在红山等地区，都构建了全面的区域性战略布局，加强发展的系统性、市场前瞻性、产品创新能力，以专注、极致的服务理念，为客户提供网站建设、成都做网站 网站设计制作按需规划网站,公司网站建设,企业网站建设,品牌网站建设,全网营销推广,外贸网站建设,红山网站建设费用合理。

1.获得验证码图片

每次加载注册网页都会显示不同的验证验图像，为了了解表单需要哪些参数，我们可以复用上一章编写的parse_form()函数。

import cookielib,urllib2,pprint import form REGISTER_URL = '' cj=cookielib.CookieJar() opener=urllib2.build_opener(urllib2.HTTPCookieProcessor(cj)) html=opener.open(REGISTER_URL).read() form=form.parse_form(html) pprint.pprint(form)

{'_formkey': 'a67cbc84-f291-4ecd-9c2c-93937faca2e2', '_formname': 'register', '_next': '/places/default/index', 'email': '', 'first_name': '', 'last_name': '', 'password': '', 'password_two': '', 'recaptcha_response_field': None} 123456789101112131415161718

上面recaptcha_response_field是存储验证码的值，其值可以用Pillow从验证码图像获取出来。先安装pip install Pillow，其它安装Pillow的方法可以参考 。Pillow提价了一个便捷的Image类，其中包含了很多用于处理验证码图像的高级方法。下面的函数使用注册页的HTML作为输入参数，返回包含验证码图像的Image对象。

import lxml.html from io import BytesIO from PIL import Image tree=lxml.html.fromstring(html) print tree

Element html at 0x7f8b006ba890 img_data_all=tree.cssselect('div#recaptcha img')[0].get('src') print img_data_all

data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAQAAAABgCAIAAAB9kzvfAACAtklEQVR4nO29Z5gcZ5ku3F2dc865

...

rkJggg== img_data=img_data_all.partition(',')[2] print img_data

iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAQAAAABgCAIAAAB9kzvfAACAtklEQVR4nO29Z5gcZ5ku3F2dc865

...

rkJggg== binary_img_data=img_data.decode('base64') file_like=BytesIO(binary_img_data) print file_like

_io.BytesIO object at 0x7f8aff6736b0 img=Image.open(file_like) print img

PIL.PngImagePlugin.PngImageFile image mode=RGB size=256x96 at 0x7F8AFF5FAC90 12345678910111213141516171819202122232425

在本例中，这是一张进行了Base64编码的PNG图像，这种格式会使用ASCII编码表示二进制数据。我们可以通过在第一个逗号处分割的方法移除该前缀。然后，使用Base64解码图像数据，回到最初的二进制格式。要想加载图像，PIL需要一个类似文件的接口，所以在传给Image类之前，我们以使用了BytesIO对这个二进制数据进行了封装。

完整代码:

# -*- coding: utf-8 -*-form.pyimport urllibimport urllib2import cookielibfrom io import BytesIOimport lxml.htmlfrom PIL import Image

REGISTER_URL = ''#REGISTER_URL = ''def extract_image(html):

tree = lxml.html.fromstring(html)

img_data = tree.cssselect('div#recaptcha img')[0].get('src') # remove data:image/png;base64, header

img_data = img_data.partition(',')[-1] #open('test_.png', 'wb').write(data.decode('base64'))

binary_img_data = img_data.decode('base64')

file_like = BytesIO(binary_img_data)

img = Image.open(file_like) #img.save('test.png')

return imgdef parse_form(html):

"""extract all input properties from the form

"""

tree = lxml.html.fromstring(html)

data = {} for e in tree.cssselect('form input'): if e.get('name'):

data[e.get('name')] = e.get('value') return datadef register(first_name, last_name, email, password, captcha_fn):

cj = cookielib.CookieJar()

opener = urllib2.build_opener(urllib2.HTTPCookieProcessor(cj))

html = opener.open(REGISTER_URL).read()

form = parse_form(html)

form['first_name'] = first_name

form['last_name'] = last_name

form['email'] = email

form['password'] = form['password_two'] = password

img = extract_image(html)#

captcha = captcha_fn(img)#

form['recaptcha_response_field'] = captcha

encoded_data = urllib.urlencode(form)

request = urllib2.Request(REGISTER_URL, encoded_data)

response = opener.open(request)

success = '/user/register' not in response.geturl() #success = '/places/default/user/register' not in response.geturl()

return success12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152

2.光学字符识别验证码

光学字符识别（Optical Character Recognition, OCR）用于图像中抽取文本。本节中，我们将使用开源的Tesseract OCR引擎，该引擎最初由惠普公司开发的，目前由Google主导。Tesseract的安装说明可以从 获取。然后可以使用pip安装其Python封装版本pytesseractpip install pytesseract。

下面我们用光学字符识别图像验证码：

import pytesseract import form img=form.extract_image(html) pytesseract.image_to_string(img)'' 123456

如果直接把验证码原始图像传给pytesseract，一般不能解析出来。这是因为Tesseract是抽取更加典型的文本，比如背景统一的书页。下面我们进行去除背景噪音，只保留文本部分。验证码文本一般都是黑色的，背景则会更加明亮，所以我们可以通过检查是否为黑色将文本分离出来，该处理过程又被称为阈值化。

img.save('2captcha_1original.png') gray=img.convert('L') gray.save('2captcha_2gray.png') bw=gray.point(lambda x:0 if x1 else 255,'1') bw.save('2captcha_3thresholded.png') 1234567

这里只有阈值小于1的像素（全黑）都会保留下来，分别得到三张图像：原始验证码图像、转换后的灰度图和阈值化处理后的黑白图像。最后我们将阈值化处理后黑白图像再进行Tesseract处理，验证码中的文字已经被成功抽取出来了。

pytesseract.image_to_string(bw)'language' import Image,pytesseract img=Image.open('2captcha_3thresholded.png') pytesseract.image_to_string(img)'language' 123456789

我们通过示例样本测试，100张验证码能正确识别出90张。

import ocr ocr.test_samples()

Accuracy: 90/100 1234

下面是注册账号完整代码：

# -*- coding: utf-8 -*-import csvimport stringfrom PIL import Imageimport pytesseractfrom form import registerdef main():

print register('Wu1', 'Being1', 'Wu_Being001@qq.com', 'example', ocr)def ocr(img):

# threshold the image to ignore background and keep text

gray = img.convert('L') #gray.save('captcha_greyscale.png')

bw = gray.point(lambda x: 0 if x 1 else 255, '1') #bw.save('captcha_threshold.png')

word = pytesseract.image_to_string(bw)

ascii_word = ''.join(c for c in word if c in string.letters).lower() return ascii_wordif __name__ == '__main__':

main()1234567891011121314151617181920212223

我们可以进一步改善OCR性能：

- 实验不同阈值

- 腐蚀阈值文本，突出字符形状

- 调整图像大小

- 根据验证码字体训练ORC工具

- 限制结果为字典单词

入基变量可以是负数吗?

一般模型既有不等式约束，也有等式约束；既有非负的约束决策变量，也有整个实数域上的自由决策变量。

标准模型

引入冗余的决策变量，使得不等式约束转化为等式约束。这里的每个决策变量都具有非负性。

在这里插入图片描述

把上述模型用矩阵表示就是

m i n ( o r m a x ) C T X s . t A X = b ⃗ X ≥ 0 min(or\ max) C^TX\\ s.t \ AX=\vec{b}\\ \ X \geq 0

min(or max)C

T

X

s.t AX=

b

X≥0

线性规划问题的基本假设

系数矩阵A的行向量线性无关。

如果线性相关有2种可能，要么是增广矩阵的该行也线性相关，则该行约束冗余，可以删去。要么增广矩阵的该行线性无关，则方程无解，优化问题不存在。

系数矩阵A的行数小于列数

如果行数m大于列数n，则行向量是m个n维向量，不可能线性无关。吐过行数等于列数，且行向量线性无关，则约束条件确定了唯一解，无需优化。

一般模型与标准模型的转化

主要方式是增加决策变量。有两种情况需要增加

不等式变等式，每个不等式增加一个决策变量。

1个自由决策变量转化为2个约束的决策变量。

在这里插入图片描述

线性规划问题解的可能情况

唯一最优解

没有有限的最优目标函数

没有可行解

无穷多的最优解（一维问题中不会出现）

凸集

Def. 凸集：该集合中任意两个元素的凸组合仍然属于该集合。

在这里插入图片描述

注：此处的α \alphaα不能是0或1。

Thm. 线性规划的多面体模型是凸集。

Def. 凸集的顶点：顶点无法表示成集合中其他元素的凸组合。

在这里插入图片描述

顶点的等价描述

从系数矩阵中抽取m列线性无关的列向量，组成可逆方阵。则由此可求得m个决策变量的值，再令其余的决策变量为0即可。

推论

顶点中正分量对应的系数向量线性无关。

一个线性规划问题标准模型最多有C n m C_{n}^{m}C

n

m

个顶点。

定义总结

基矩阵§：系数矩阵中抽取m列线性无关的列向量组成可逆方阵。

基本解：m个基变量有基矩阵和b ⃗ \vec{b}

b

决定，剩余(n-m)个变量都置0，称之为非基变量。

基本可行解（顶点）：基本解中可行的，即满足非负性约束

Thm. 线性规划标准模型的基本可行解就是可行集的顶点。

Thm. 标准模型的线性规划问题如有可行解，则定有基本可行解。

Thm. 线性规划标准模型中顶点的个数是有限的。

Thm. 线性规划标准模型的最优目标函数值如果有有限的目标函数值，则总在顶点处取到。

单纯形法

在顶点中沿着边搜索最优解的过程。

按照上述的原理，我们固然可以求出所有的基矩阵，进入求出所有的顶点。计算每一个顶点的目标函数值，找出其中最大的那个，但是这样做的计算量未免太大，因此有了单纯行法，即沿着边搜索顶点。

在这里插入图片描述

单纯形法就是一个不断的选择变量入基出基的过程。

假定已知一个基本可行解。（问题4）

如何计算选定进基变量后的基本可行解。(问题1）

如何选择进基变量使得目标函数值改善。（问题2）

如何判断已经找到最优的目标函数值。（问题3）

计算选定进基变量的基本可行解

Def. 基本可行解的表示式：基变量只出现在一个等式约束中。如：

在这里插入图片描述

此处的x 3 , x 4 , x 5 x_3,x_4,x_5x

3

,x

4

,x

5

就是基变量。

选定出基变量：保可行性的最小非负比值原理

由上所述，一个顶点对应一个基本可行解，其中m个基变量，(n-m)个非基变量。假定我们要选择某个非基变量x i x_ix

i

入基，实际上就是通过对增广矩阵做初等行变化使得x i x_ix

i

仅仅出现在一个等式约束中。比如我们通过变换，使得x i x_ix

i

仅仅出现在第j个等式约束中，如果此时仍然满足可行性，那么x i x_ix

i

就取代了原来在此处的基变量，成为新的基变量。

在进行初等行变换的过程中，要保证可行性，即

b ⃗ ≥ 0 \vec{b} \geq 0

b

≥0

。因此要选择最小非负比值。请看下面的例子：

在这里插入图片描述

假设我们要选择x 2 x_2x

2

入基，那么就是要通过初等行变换，使得x 2 x_2x

2

的系数向量中某一行是1，其余行都是0。如我们选择x 2 x_2x

2

仅出现在第3个等式约束中，即

在这里插入图片描述

则此时无法保证可行性，因为b ⃗ \vec{b}

b

中第1个分量是负数。

为了避免等式右侧出现负数，只能选择比值最小的一行，即第1行。即化成如下的形式：

在这里插入图片描述

如果此时我们想让x 3 x_3x

3

入基，此时的最小比值是第2行，即让该行为1，其余行为0。但是，为了让x 3 x_3x

3

的第二行为1，该行两端必须同时乘以一个负数，此时仍然无法保证b ⃗ ≥ 0 \vec{b} \geq0

b

≥0，因此只能选择系数非负的一行。

注：这里的非负性是指系数非负，而不是比值非负。即当b中某行分量是0，而该行入基变量系数是负数，仍不能入基。

在这里插入图片描述

特殊情况：没有非负比值，即没有有限的目标函数值。

在这里插入图片描述

选择入基变量的原则

选择某个入基变量使得目标函数能改善，通过检验数选择。

此处假设优化目标是求最大值。通过等式约束，将目标函数表示成非基变量的线性组合。即

f ( X ) = c 1 x j ( m + 1 ) + c 2 x j ( m + 2 ) + . . . + c n x j ( n ) + c o n s t f(X)=c_1x_{j(m+1)}+c_2x_{j(m+2)}+...+c_nx_{j(n)}+const

f(X)=c

1

x

j(m+1)

+c

2

x

j(m+2)

+...+c

n

x

j(n)

+const

只有选择检验数是正数的变量入基才有可能使得目标函数继续增大，因为入基之后变量只可能增大或者不变，而不可能减少。

如何确定已经找到了最优的目标函数值

此处假设优化目标是求最大值。

当每个非基变量的检验数都是负数时，目标函数已经达到了最大值。

退化情况

Thm. 收敛条件：每次迭代过程中，每个基本可行解的基变量都严格大于0，则每次迭代都能保证目标函数严格增加。而基本可行解的数目是有限的，因此上述过程不会一直进行下去，因此一定能在有限次迭代过程中找到最优解。

Def. 退化情况：某些基变量是0。则多个基矩阵对应同一个退化的顶点。

Thm. 循环迭代导致不收敛：多个基矩阵对应一个顶点，即每次出基入基都换了基矩阵，但是对应的退化顶点不变，即目标函数也不变。因此可能出现在几个基矩阵之间循环不止的情况。

避免退化：由于顶点的个数是有限的，我们只需标记那些已经迭代过的顶点，即可避免循环。

**bland法则：**始终选择下标最小的可入基和出基的变量。

当所有的基变量都严格大于0时，则这个基矩阵对应于非退化的顶点，此时可行基矩阵和顶点是一一对应的；

当某些基变量为0时，则这个基矩阵对应退化的顶点，一个退化的顶点对应数个可行基矩阵。

即给定一个可行基矩阵，一定能确定一个顶点，但是给定一个顶点时，其对应的基矩阵可能不唯一。

更一般地说，当顶点非退化时，可行基矩阵唯一；否则可行基矩阵不唯一。

如何确定初始的基本可行解

先将一般模型转化为标准模型，然后添加人工变量，在迭代过程中将人工变量都变成非基变量，则基变量就只剩下原来的变量。

在这里插入图片描述

大M法在这里插入图片描述

两阶段法

在这里插入图片描述

例题

本质就是不断的迭代单纯型表

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

一般线性规划问题总结

一般模型转化为标准型

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

基于单纯型表迭代的实质

求出非基变量的检验数

σ j ( k ) = c j ( k ) − C B T B − 1 P j ( k ) m + 1 ≤ k ≤ n \sigma_{j(k)}=c_{j(k)}-C_{B}^{T}B^{-1}P_{j(k)}\ m+1 \leq k \leq n

σ

j(k)

=c

j(k)

−C

B

T

B

−1

P

j(k)

m+1≤k≤n

确定进基变量

σ j ( t ) = m a x { σ j ( m + 1 ) , σ j ( m + 2 ) , . . . σ j ( n ) } \sigma_{j(t)} = max\{\sigma_{j(m+1)},\sigma_{j(m+2)},...\sigma_{j(n)}\}

σ

j(t)

=max{σ

j(m+1)

,σ

j(m+2)

,...σ

j(n)

}

确定出基变量

在这里插入图片描述

得到新的可行基矩阵

在这里插入图片描述

基于逆矩阵的单纯形法

在这里插入图片描述

核心问题：如何基于B − 1 B^{-1}B

−1

计算出B − 1 ~ \tilde{B^{-1}}

B

−1

~

。这两个矩阵仅仅有1列不一样，这是一个线性代数问题，与本课程的主要内容无关，此处不再赘述。

总结：单纯形法中可能遇到的3中特殊情况。

1. 退化问题：某些基变量为0

退化问题的现象是某些基变量为0，本质是一个退化的顶点对应多个可行基矩阵，后果是可能使得单纯形法不收敛。

在选择入基变量时，应该遵循blend法则，即每次选择可入基变量下标最小的那个。

2. 没有最小非负比值。

当选定入基变量后，需要根据“保证可行性的最小非负比值原理”选定出基变量，如果没有非负比值，则说明该变量可以趋于无穷，则该问题没有有限的最优目标函数值。

3. 某个非基变量的检验数为0.

在选择入基变量时，需要将目标函数表示成非基变量的表达式。以目标值是求最大问题的为例，此时应该选择检验数大于0的非基变量入基才能改善目标函数值。

当所有非基变量的检验数都为小于等于0的时候，无论选择谁入基，都会值得目标函数变得更差，因此这时候就达到了最优条件。

有一种特殊情况是某个非基变量的检验数为0，如果选取该变量入基，则目标函数值和原来一样，但是我们得到另一组不同的基本可行解，即最优目标函数值对应了多个基本可行解，这说明原问题有无穷多最优解。

4. 退化问题和非基变量检验数为0.

前者是一个顶点对应多个可行基矩阵，后者是最优目标函数值对应多个顶点。

前者可能导致单纯形法不收敛，后者说明该问题有无穷多解。

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如何根据概率密度函数生成随机数

如何根据概率密度函数生成随机数

我这里并不是要讲“伪随机”、“真随机”这样的问题，而是关于如何生成服从某个概率分布的随机数（或者说 sample）的问题。比如，你想要从一个服从正态分布的随机变量得到 100 个样本，那么肯定抽到接近其均值的样本的概率要大许多，从而导致抽到的样本很多是集中在那附近的。当然，要解决这个问题，我们通常都假设我们已经有了一个 生成 0 到 1 之间均匀分布的随机数的工具，就好像 random.org 给我们的结果那样，事实上许多时候我们也并不太关心它们是真随机数还是伪随机数，看起来差不多就行了。 :p

现在再回到我们的问题，看起来似乎是很简单的，按照概率分布的话，只要在概率密度大的地方多抽一些样本不就行了吗？可是具体要怎么做呢？要真动起手 来，似乎有不是那么直观了。实际上，这个问题曾经也是困扰了我很久，最近又被人问起，那我们不妨在这里一起来总结一下。为了避免一下子就陷入抽象的公式推 导，那就还是从一个简单的具体例子出发好了，假设我们要抽样的概率分布其概率密度函数为 p(x) = \frac{1}{9}x^2 ，并且被限制在区间 [0, 3] 上，如右上图所示。

好了，假设现在我们要抽 100 个服从这个分布的随机数，直观上来讲，抽出来的接近 3 的数字肯定要比接近 0 的数字要多。那究竟要怎样抽才能得到这样的结果呢？由于我们实际上是不能控制最原始的随机数生成过程的，我们只能得到一组均匀分布的随机数，而这组随机数 的生成过程对于我们完全是透明的，所以，我们能做的只有把这组均匀分布的随机数做一些变换让他符合我们的需求。找到下手的点了，可是究竟要怎样变换呢？有 一个变换相信大家都是很熟悉的，假设我们有一组 [0,1] 之间的均匀分布的随机数 X_0 ，那么令 X_1=3X_0 的话，X_1 就是一组在 [0,3] 之间均匀分布的随机数了，不难想象，X_1 等于某个数 x^* 的概率就是 X_0 等于 x^*/3 的概率（“等于某个数的概率”这种说法对于连续型随机变量来说其实是不合适的，不过大概可以理解所表达的意思啦）。似乎有一种可以“逆转回去”的感觉了。

于是让我们来考虑更一般的变换。首先，我们知道 X_1 的概率密度函数是 f(x) = 1/3, x\in[0,3] ，假设现在我们令 Y = \phi (X_1) ，不妨先假定 \phi(\cdot) 是严格单调递增的函数，这样我们可以求其逆函数 \phi^{-1}(\cdot) （也是严格单调递增的）。现在来看变换后的随机变量 Y 会服从一个什么样的分布呢？

这里需要小心，因为这里都是连续型的随机变量，并不像离散型随机变量那样可以说成“等于某个值的概率”，因此我们需要转换为概率分布函数来处理，也就是求一个积分啦：

\displaystyle F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t)dt

那么 X_1 的概率分布函数为 F(x) = \frac{1}{3}x 。很显然 Y 小于或等于某个特定的值 y^* 这件事情是等价于 X_1=\phi^{-1}(Y)\leq\phi^{-1}(y^*) 这件事情的。换句话说，P(Y\leq y^*) 等于 P(X_1 \leq \phi^{-1}(y^*)) 。于是，Y 的概率分布函数就可以得到了：

\displaystyle G(y) = P(Y \leq y) = P(X_1 \leq \phi^{-1}(y)) = F(\phi^{-1}(y))

再求导我们就能得到 Y 的概率密度函数：

\displaystyle g(y) = \frac{dG(y)}{dy} = f(\phi^{-1}(y))\frac{d}{dy}\phi^{-1}(y)

这样一来，我们就得到了对于一个随机变量进行一个映射 \phi(\cdot) 之后得到的随即变量的分布，那么，回到我们刚才的问题，我们想让这个结果分布就是我们所求的，然后再反推得 \phi(\cdot) 即可：

\displaystyle \frac{1}{9}y^2 = g(y) = f(\phi^{-1}(y))\frac{d}{dy}\phi^{-1}(y) = \frac{1}{3}\frac{d}{dy}\phi^{-1}(y)

经过简单的化简就可以得到 \phi^{-1}(y) = \frac{1}{9} y^3 ，亦即 \phi(x) = (9x)^{1/3} 。也就是说，把得到的随机数 X_1 带入到到函数 \phi(\cdot) 中所得到的结果，就是符合我们预期要求的随机数啦！ :D 让我们来验证一下：

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#!/usr/bin/python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plot N = 10000 X0 = np.random.rand(N) X1 = 3*X0 Y = np.power(9*X1, 1.0/3) t = np.arange(0.0, 3.0, 0.01) y = t*t/9 plot.plot(t, y, 'r-', linewidth=1) plot.hist(Y, bins=50, normed=1, facecolor='green', alpha=0.75)plot.show()

这就没错啦，目的达成啦！让我们来总结一下。问题是这样的，我们有一个服从均匀分布的随机变量 X ，它的概率密度函数为一个常数 f(x)=C ，如果是 [0,1] 上的分布，那么常数 C 就直接等于 1 了。现在我们要得到一个随机变量 Y 使其概率密度函数为 g(y) ，做法就是构造出一个函数 \phi(\cdot) 满足（在这里加上了绝对值符号，这是因为 \phi(\cdot) 如果不是递增而是递减的话，推导的过程中有一处就需要反过来）

\displaystyle g(y) = f(\phi^{-1}(y))\left|\frac{d}{dy}\phi^{-1}(y)\right| = C\left|\frac{d}{dy}\phi^{-1}(y)\right|

反推过来就是，对目标 y 的概率密度函数求一个积分（其实就是得到它的概率分布函数 CDF ，如果一开始就拿到的是 CDF 当然更好），然后求其反函数就可以得到需要的变换 \phi(\cdot) 了。实际上，这种方法有一个听起来稍微专业一点的名字：Inverse Transform Sampling Method 。不过，虽然看起来很简单，但是实际操作起来却比较困难，因为对于许多函数来说，求逆是比较困难的，求积分就更困难了，如果写不出解析解，不得已只能用数 值方法来逼近的话，计算效率就很让人担心了。可事实上也是如此，就连我们最常见的一维标准正态分布，也很难用这样的方法来抽样，因为它的概率密度函数

\displaystyle g(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}y^2}

的不定积分没有一个解析形式。这可真是一点也不好玩，费了这么大劲，结果好像什么都干不了。看来这个看似简单的问题似乎还是比较复杂的，不过也不要灰心，至少对于高斯分布来说，我们还有一个叫做 Box Muller 的方法可以专门来做这个事情。因为高斯分布比较奇怪，虽然一维的时候概率分布函数无法写出解析式，但是二维的情况却可以通过一些技巧得出一个解析式来。

首先我们来考虑一个二维的且两个维度相互独立的高斯分布，它的概率密度函数为

\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}} = \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}

这个分布是关于原点对称的，如果考虑使用极坐标 (\theta,r) （其中 \theta\in[0,2\pi), r\in[0,\infty) ）的话，我们有 x = r\cos\theta，y=r\sin\theta 这样的变换。这样，概率密度函数是写成：

\displaystyle f(\theta,r) = \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{r^2}{2}}

注意到在给定 r 的情况下其概率密度是不依赖于 \theta 的，也就是说对于 \theta 来说是一个均匀分布，这和我们所了解的标准正态分布也是符合的：在一个圆上的点的概率是相等的。确定了 \theta 的分布，让我们再来看 r，用类似于前面的方法：

\displaystyle \begin{aligned} P(rR) = \int_0^{2\pi}\int_0^R\frac{1}{2\pi}e^{\frac{r^2}{2}}rdrd\theta \ = \int_0^Re^{-\frac{r^2}{2}}rdr \ = 1-e^{-\frac{R^2}{2}} \end{aligned}

根据前面得出的结论，我现在得到了 r 的概率分布函数，是不是只要求一下逆就可以得到一个 \phi(\cdot) 了？亦即 \phi(t) = \sqrt{-2\log (1-t)} 。

现在只要把这一些线索串起来，假设我们有两个相互独立的平均分布在 [0,1] 上的随机变量 T_1 和 T_2 ，那么 2\pi T_1 就可以得到 \theta 了，而 \phi(T_2) = \sqrt{-2\log(1-T_2)} 就得到 r 了（实际上，由于 T_2 和 1-T_2 实际上是相同的分布，所以通常直接写为 \sqrt{-2\log T_2}）。再把极坐标换回笛卡尔坐标：

\displaystyle \begin{aligned} x = r\cos\theta = \sqrt{-2\log T_2}\cdot \cos(2\pi T_1) \ y = r\sin\theta = \sqrt{-2\log T_2}\cdot \sin(2\pi T_1) \end{aligned}

这样我们就能得到一个二维的正态分布的抽样了。可以直观地验证一下，二维不太好画，就画成 heatmap 了，看着比较热的区域就是概率比较大的，程序如下：

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#!/usr/bin/python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plot N = 50000 T1 = np.random.rand(N) T2 = np.random.rand(N) r = np.sqrt(-2*np.log(T2)) theta = 2*np.pi*T1 X = r*np.cos(theta) Y = r*np.sin(theta) heatmap, xedges, yedges = np.histogram2d(X, Y, bins=80) extent = [xedges[0], xedges[-1], yedges[0], yedges[-1]] plot.imshow(heatmap, extent=extent) plot.show()

画出来的图像这个样子：

不太好看，但是大概的形状是可以看出来的。其实有了二维的高斯分布，再注意到两个维度在我们这里是相互独立的，那么直接取其中任意一个维度，就是一个一维高斯分布了。如下：

如果 X\sim N(0,1) 即服从标准正态分布的话，则有 \sigma X+\mu \sim N(\mu, \sigma^2) ，也就是说，有了标准正态分布，其他所有的正态分布的抽样也都可以完成了。这下总算有点心满意足了。不过别急，还有最后一个问题：多元高斯分布。一般最常 用不就是二元吗？二元不是我们一开始就推出来了吗？推出来了确实没错，不过我们考虑的是最简单的情形，当然同样可以通过 \sigma X+\mu 这样的方式来处理每一个维度，不过高维的情形还有一个需要考虑的就是各个维度之间的相关性——我们之前处理的都是两个维度相互独立的情况。对于一般的多维正态分布 X\sim N(\mathbf{\mu}, \Sigma) ，如果各个维度之间是相互独立的，就对应于协方差矩阵 \Sigma 是一个对角阵，但是如果 \Sigma 在非对角线的地方存在非零元素的话，就说明对应的两个维度之间存在相关性。

这个问题还是比较好解决的，高斯分布有这样的性质：类似于一维的情况，对于多维正态分布 X\sim N(\mathbf{\mu}, \Sigma)，那么新的随机变量 X_1=\mathbf{\mu}_1 + LX 将会满足

\displaystyle X_1 \sim N(\mathbf{\mu}_1+L\mu, L\Sigma L^T)

所以，对于一个给定的高斯分布 N(\mathbf{\mu}, \Sigma) 来说，只要先生成一个对应维度的标准正态分布 X\sim N(0, I) ，然后令 X_1 = \mu+LX 即可，其中 L 是对 \Sigma 进行 Cholesky Decomposition 的结果，即 \Sigma = LL^T 。

结束之前让我们来看看 matlab 画个 3D 图来改善一下心情：

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N = 50000; T1 = rand(1, N); T2 = rand(1, N); r = sqrt(-2*log(T2)); theta = 2*pi*T1; X =[r.*cos(theta); r.*sin(theta)]; mu = [1; 2]; Sigma = [5 2; 2 1]; L = chol(Sigma); X1 = repmat(mu,1, N) + L*X; nbin = 30; hist3(X1', [nbin nbin]); set(gcf, 'renderer', 'opengl'); set(get(gca,'child'), 'FaceColor', 'interp', 'CDataMode', 'auto'); [z c] = hist3(X1', [nbin nbin]); [x y] =meshgrid(c{1}, c{2}); figure; surfc(x,y,-z);

下面两幅图，哪幅好看一些（注意坐标比例不一样，所以看不出形状和旋转了）？似乎都不太好看，不过感觉还是比前面的 heatmap 要好一点啦！

然后，到这里为止，我们算是把高斯分布弄清楚了，不过这只是给一个介绍性的东西，里面的数学推导也并不严格，而 Box Muller 也并不是最高效的高斯采样的算法，不过，就算我们不打算再深入讨论高斯采样，采样这个问题本身也还有许多不尽人意的地方，我们推导出来的结论可以说只能用 于一小部分简单的分布，连高斯分布都要通过 trick 来解决，另一些本身连概率密度函数都写不出来或者有各种奇怪数学特性的分布就更难处理了。所以本文的标题里也说了，这是上篇，如果什么时候有机会抽出时间 来写下篇的话，我将会介绍一些更加通用和强大的方法，诸如 Rejection Sampling 、Gibbs Sampling 以及 Markov Chain Monte Carlo (MCMC) 等方法。如果你比较感兴趣，可以先自行 Google 一下解馋！ :D

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