什么是雅可比矩阵？利用雅可比矩阵分析动力学

利用雅可比矩阵分析动力学系统约束方程的概念： 对于刚体系，刚体间存在铰(或运动副)。在一个铰的邻接刚体中，一个刚体的运动将部分地牵制了另一刚体的运动。在一般情况下，描述系统位形的坐标并不完全独立，在运动过程中，它们之间存在某些关系。这些关系的解析表达式构成约束方程 将约束方程求导有这即雅可比(C.G.J. Jacobi)矩阵，或简称约束方程的雅可比。 体系通用的动力学模型(具体可参考分析力学著作)即: 它不是典型的常微分方程组，故仿真计算不是一般的常微分方程组初值问题 。为此定义变量阵, 将方程动力学改写为 上所述，经过上述变换，动力学仿真计算归结为对典型的常微分方程组的初值问题。在对上述初值问题进行数值积分的过程中方程之右函数中的 值不能直接得到，需通过解代数方程得到。此时拉格朗日乘子的值也同时得到。由此可知，在解上述的初值问题时，除了应用常微分方程初值问题的数值积分外，还将用到求解线性代数方程组的数值方法。

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怎样验证动力学分析的结果

验证动力学分析的结果：质量矩阵，刚度矩阵，阻尼矩阵，节点位移向量是可以通过apdl导出的，然后你就可以写成上面的形式。不过由于算法的不同，可能导出的结果不满足等式右边不为0。

在时域或频域内定义各种动力学载荷，包括动态定义所有的静载荷、强迫位移、速度和加速度、初始速度和位移、延时、时间窗口、解析显式时间函数、实复相位和相角、作为结构响应函数的非线性载荷、基于位移和速度的非线性瞬态加载、随载荷或受迫运动不同而不同的时间历程等。

概述

动力学是理论力学的分支学科，研究作用于物体的力与物体运动的关系。动力学的研究对象是运动速度远小于光速的宏观物体。原子和亚原子粒子的动力学研究属于量子力学，可以比拟光速的高速运动的研究则属于相对论力学。动力学是物理学和天文学的基础，也是许多工程学科的基础。许多数学上的进展常与解决动力学问题有关，所以数学家对动力学有浓厚的兴趣。

以上内容参考：百度百科-动力学

轨道结构动力学刚度矩阵

6.2.1.1 梁单元动力学方程

利用Bernoulli.Euler梁理论对钢轨及轨枕迸行计算，基于达朗伯尔原理提出的动静法，将动荷载作用引起的结构惯性力作为虚拟外力施加到结构上，并不计结构的黏滞阻尼从而建立动力学平衡方程，对其迸行求解从而实现对结构的动力学计算，有限元法结构离散后的动力学平衡方程如式（6.27）所示。

｛F（t）}+｛Fi（t）}=｛Fe（t）} （6.27）

式中：F（t）——单元外部动力荷载；

Fi（t）——单元惯性力；

Fe（t）——单元节点弹性力。

弹性力表达式如下

Fe（t）=[K]｛δ（t）} （6.28）

式中：[K] ——单元节点刚度矩阵；

｛δ（t）} ——单元节点位移。

采用达朗伯尔原理获得单元的惯性力：

水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究

式中：[M] ——单元质量矩阵；

｛δ（t）} ——单元节点位移。

将式（6.28）及式（6.29）代入式（6.27）并移项得

水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究

文献[108]，采用集中质量矩阵，对于钢轨梁单元每个节点上分担单元长度一半的质量，基于 Bernoulli.Euler梁理论略去转动项，即获得钢轨梁单元的集中矩阵，如式（6.31）所示。

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式中，m=ρAli，为梁单元的质量。

6.2.1.2 梁单元动静法等效刚度矩阵

基于达朗伯尔原理，惯性力可以假定为外部虚拟力施加在梁单元的结构上，采用达朗伯尔原理动静法的钢轨梁单元刚度矩阵如式（6.32）所示。

水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究

对式（6.30）迸行拉普拉斯变换，将其转换成为

水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究

将式（6.31）及式（6.32）代入式（6.33）得

水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究

式（6.34）为拉普拉斯积分变换域内钢轨梁单元的动静法等效刚度矩阵。

对于铁路钢轨下部轨枕同样采用集中质量矩阵，基于动静法构建其动力学单元刚度矩阵。

6.2.1.3 轨道结构刚度矩阵

基于以上构建的梁单元等效刚度矩阵，将轨道下方基础的反力作为外部力施加到轨道结构的轨枕底部，轨道结构的整体受力仅包括施加在钢轨之上的列车竖向荷载以及施加在轨枕底部朝上的轨下基础作用反力，动力学计算中其均是关于时间t的函数式，对其迸行拉普拉斯积分变换，得到轨道结构动力学计算的刚度矩阵如式（6.35）所示。

水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究

式中：

（s）——拉普拉斯积分变换域内钢轨之上的列车荷载；

（s）——拉普拉斯积分变换域内轨枕的节点承受的下部基础反力；]]

s——表示轨道结构的整体刚度矩阵，可以根据单元等效矩阵以及编码法、位移法或直接刚度法计算获得；

（s）——拉普拉斯积分变换域内钢轨节点的广义位移状态量，包括各节点的竖向位移以及沿y轴方向的转角；]]

（s）——拉普拉斯积分变换域内轨枕节点的广义位移状态量，包括各节点的竖向位移以及沿x轴方向的转角。

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