阶跃函数和冲激函数的求导和积分？

答案如图所示：

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定义

普通函数

在数学中，如果实数域上的某个函数可以用半开区间上的指示函数的有限次线性组合来表示，那么这个函数就是阶跃函数。阶跃函数是有限段分段常数函数的组合。

阶跃函数是奇异函数，t 0时，函数值为 0；t = 0时，函数值为1/2,；t 0时，函数值为1 [1]  。

广义函数

按广义函数理论，单位阶跃函数ε(t)的定义为：

即阶跃函数ε(t)作用与检验函数φ(t)的效果是赋予它一个数值，该值等于φ(t)在(0,∞)区间的定积分 。

与单位冲激函数的关系

单位冲激函数等于单位阶跃函数对时间变量的导数：  ；

反之，单位阶跃函数等于单位冲激函数的积分：  。

扩展资料：

应用

信号处理

通过阶跃信号来表示复杂的信号，可以简化对复杂信号的一些特性的研究。

阶跃信号及其延时阶跃信号的线性组合来表示或逼近，再利用系统的迭加原理，可以通过简单的信号如单位阶跃信号的频谱，以及频域特性来讨论比较复杂信号的频谱。从而减少计算复杂信号频谱的难度。

积分变换

在作积分变换时，对于分段定义的原函数和像函数必须分段处理，常常很麻烦而且容易出错。

利用阶跃函数可将分段定义的函数表示成统一的形式，将函数切割或将分段定义的函数统一地表示成定义在整个数轴上的函数，常使变换简捷容易，简化运算，减少错误。

参考资料：阶跃函数-百度百科

阶跃信号卷积和公式

阶跃信号卷积和公式f(t)*u(t)=∫f(x)dx。

与阶跃函数的卷积就是该函数的变上限积分，阶跃函数是个理想积分器。在电路分析中，阶跃函数是研究动态电路阶跃响应的基础。利用阶跃函数可以进行信号处理、积分变换。在其他各个领域如自然生态、计算、工程等等均有不同程度的研究。

群上卷积

若G是有某m测度的群（例如豪斯多夫空间上Harr测度下局部紧致的拓扑群），对于G上m-勒贝格可积的实数或复数函数f和g，可定义它们的卷积：对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质，但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析的Peter-Weyl定理。

《Python神经网络》2——神经元

虽然计算机拥有相对大量的电子计算元件、巨大的存储空间，并且这些计算机的运行频率比肉蓬蓬、软绵绵的生物大脑要快得多，但是即使是像鸽子一样小的大脑，其能力也远远大于这些电子计算机。

传统的计算机按照严格的串行顺序，相当准确具体地处理数据。对于这些冰冷坚硬的计算机而言，不存在模糊性和不确定性。而另一方面，动物的大脑表面上看起来以慢得多的节奏运行，却似乎以并行方式处理信号，模糊性是其计算的一种特征。

虽然神经元有各种形式，但是所有的神经元都是将电信号从一端传输到另一端，沿着轴突，将电信号从树突传到树突。然后，这些信号从 一个神经元传递到另一个神经元。

我们需要多少神经元才能执行相对复杂的有趣任务呢？

一般来说，能力非常强的人类大脑有大约1000亿个神经元！一只果蝇有约10万个神经元，能够飞翔、觅食、躲避危险、寻找食物以及执行许多相当复杂的任务。  10万个神经元，这个数字恰好落在了现代计算机试图复制的范围内。    一只线虫仅仅具有302个神经元，与今天的数字计算资源相比，简直就是微乎其微！但是一直线虫能够完成一些相当有用的任务，而这些任务对于尺寸大得多的传统计算机程序而言却难以完成。

激活函数：

阶跃函数，S函数。

python单位阶跃函数

round()函数用错了啊，你应该写成：

lb = round(fx*2.205, 2)

这样。

round(x[, n])

Return the floating point value x rounded to n digits after the decimal point. If n is omitted, it defaults to zero. Delegates to x.__round__(n).

For the built-in types supporting round(), values are rounded to the closest multiple of 10 to the power minus n; if two multiples are equally close, rounding is done toward the even choice (so, for example, both round(0.5) and round(-0.5) are 0, and round(1.5) is 2). The return value is an integer if called with one argument, otherwise of the same type as x.

如果对您有帮助，请记得采纳为满意答案，谢谢！祝您生活愉快！

写出单位阶跃函数u（t）的定义，并求其拉普拉斯变换。这详细怎么写？

阶跃函数u(t)为：

自变量取值大于0时，函数值为1

自变量取值小于0时，函数值为0

扩展资料

对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。

拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。

在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。

如何使用python做统计分析

Shape Parameters

形态参数

While a general continuous random variable can be shifted and scaled

with the loc and scale parameters, some distributions require additional

shape parameters. For instance, the gamma distribution, with density

γ(x,a)=λ(λx)a−1Γ(a)e−λx,

requires the shape parameter a. Observe that setting λ can be obtained by setting the scale keyword to 1/λ.

虽然一个一般的连续随机变量可以被位移和伸缩通过loc和scale参数，但一些分布还需要额外的形态参数。作为例子，看到这个伽马分布，这是它的密度函数

γ(x,a)=λ(λx)a−1Γ(a)e−λx,

要求一个形态参数a。注意到λ的设置可以通过设置scale关键字为1/λ进行。

Let’s check the number and name of the shape parameters of the gamma

distribution. (We know from the above that this should be 1.)

让我们检查伽马分布的形态参数的名字的数量。（我们知道从上面知道其应该为1）

from scipy.stats import gamma

gamma.numargs

1

gamma.shapes

'a'

Now we set the value of the shape variable to 1 to obtain the

exponential distribution, so that we compare easily whether we get the

results we expect.

现在我们设置形态变量的值为1以变成指数分布。所以我们可以容易的比较是否得到了我们所期望的结果。

gamma(1, scale=2.).stats(moments="mv")

(array(2.0), array(4.0))

Notice that we can also specify shape parameters as keywords:

注意我们也可以以关键字的方式指定形态参数：

gamma(a=1, scale=2.).stats(moments="mv")

(array(2.0), array(4.0))

Freezing a Distribution

冻结分布

Passing the loc and scale keywords time and again can become quite

bothersome. The concept of freezing a RV is used to solve such problems.

不断地传递loc与scale关键字最终会让人厌烦。而冻结RV的概念被用来解决这个问题。

rv = gamma(1, scale=2.)

By using rv we no longer have to include the scale or the shape

parameters anymore. Thus, distributions can be used in one of two ways,

either by passing all distribution parameters to each method call (such

as we did earlier) or by freezing the parameters for the instance of the

distribution. Let us check this:

通过使用rv我们不用再更多的包含scale与形态参数在任何情况下。显然，分布可以被多种方式使用，我们可以通过传递所有分布参数给对方法的每次调用（像我们之前做的那样）或者可以对一个分布对象冻结参数。让我们看看是怎么回事：

rv.mean(), rv.std()

(2.0, 2.0)

This is indeed what we should get.

这正是我们应该得到的。

Broadcasting

广播

The basic methods pdf and so on satisfy the usual numpy broadcasting

rules. For example, we can calculate the critical values for the upper

tail of the t distribution for different probabilites and degrees of

freedom.

像pdf这样的简单方法满足numpy的广播规则。作为例子，我们可以计算t分布的右尾分布的临界值对于不同的概率值以及自由度。

stats.t.isf([0.1, 0.05, 0.01], [[10], [11]])

array([[ 1.37218364, 1.81246112, 2.76376946],

[ 1.36343032, 1.79588482, 2.71807918]])

Here, the first row are the critical values for 10 degrees of freedom

and the second row for 11 degrees of freedom (d.o.f.). Thus, the

broadcasting rules give the same result of calling isf twice:

这里，第一行是以10自由度的临界值，而第二行是以11为自由度的临界值。所以，广播规则与下面调用了两次isf产生的结果相同。

stats.t.isf([0.1, 0.05, 0.01], 10)

array([ 1.37218364, 1.81246112, 2.76376946])

stats.t.isf([0.1, 0.05, 0.01], 11)

array([ 1.36343032, 1.79588482, 2.71807918])

If the array with probabilities, i.e, [0.1, 0.05, 0.01] and the array of

degrees of freedom i.e., [10, 11, 12], have the same array shape, then

element wise matching is used. As an example, we can obtain the 10% tail

for 10 d.o.f., the 5% tail for 11 d.o.f. and the 1% tail for 12 d.o.f.

by calling

但是如果概率数组，如[0.1,0.05,0.01]与自由度数组,如[10,11,12]具有相同的数组形态，则元素对应捕捉被作用，我们可以分别得到10%，5%，1%尾的临界值对于10，11,12的自由度。

stats.t.isf([0.1, 0.05, 0.01], [10, 11, 12])

array([ 1.37218364, 1.79588482, 2.68099799])

Specific Points for Discrete Distributions

离散分布的特殊之处

Discrete distribution have mostly the same basic methods as the

continuous distributions. However pdf is replaced the probability mass

function pmf, no estimation methods, such as fit, are available, and

scale is not a valid keyword parameter. The location parameter, keyword

loc can still be used to shift the distribution.

离散分布的简单方法大多数与连续分布很类似。当然像pdf被更换为密度函数pmf，没有估计方法，像fit是可用的。而scale不是一个合法的关键字参数。Location参数，关键字loc则仍然可以使用用于位移。

The computation of the cdf requires some extra attention. In the case of

continuous distribution the cumulative distribution function is in most

standard cases strictly monotonic increasing in the bounds (a,b) and

has therefore a unique inverse. The cdf of a discrete distribution,

however, is a step function, hence the inverse cdf, i.e., the percent

point function, requires a different definition:

ppf(q) = min{x : cdf(x) = q, x integer}

Cdf的计算要求一些额外的关注。在连续分布的情况下，累积分布函数在大多数标准情况下是严格递增的，所以有唯一的逆。而cdf在离散分布，无论如何，是阶跃函数，所以cdf的逆，分位点函数，要求一个不同的定义：

ppf(q) = min{x : cdf(x) = q, x integer}

For further info, see the docs here.

为了更多信息可以看这里。

We can look at the hypergeometric distribution as an example

from scipy.stats import hypergeom

[M, n, N] = [20, 7, 12]

我们可以看这个超几何分布的例子

from scipy.stats import hypergeom

[M, n, N] = [20, 7, 12]

If we use the cdf at some integer points and then evaluate the ppf at

those cdf values, we get the initial integers back, for example

如果我们使用在一些整数点使用cdf，它们的cdf值再作用ppf会回到开始的值。

x = np.arange(4)*2

x

array([0, 2, 4, 6])

prb = hypergeom.cdf(x, M, n, N)

prb

array([ 0.0001031991744066, 0.0521155830753351, 0.6083591331269301,

0.9897832817337386])

hypergeom.ppf(prb, M, n, N)

array([ 0., 2., 4., 6.])

If we use values that are not at the kinks of the cdf step function, we get the next higher integer back:

如果我们使用的值不是cdf的函数值，则我们得到一个更高的值。

hypergeom.ppf(prb + 1e-8, M, n, N)

array([ 1., 3., 5., 7.])

hypergeom.ppf(prb - 1e-8, M, n, N)

array([ 0., 2., 4., 6.])

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