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大O符号

衡量时间复杂度通常使用”大O符号“。什么是大O符号？我们需要先看看一些数学知识：函数和极限。

2.1、数学举例：

00001. 一元二次函数f(x)=2x^2+2x+2;

00002. 当x趋于无穷大的时候，记作x—>∞。

00003. x->∞，f(x)=2x^2+2x+2 = 2x^2 = 2x^2。

上述第3项，当x无穷大的时候2x^2+2x+2约等于2x^2，在极限思想（算法分析）里面可以理解为2x^2+2x+2=2x^2。原因如下：

当x=5的时候：

2x^2+2x+2=62.

2x^2=50.

当x=500的时候：

2x^2+2x+2=501002

2x^2=250000.

通过上面的例子，继续增大x的值，甚至无穷大的时候，f(x)函数中的2x+2这一项就可以忽略不计了。所以x->∞时，（2x^2+2x+2）约等（2x^2），或者（2x^2+2x+2）=（2x^2）。并且在极限思想里面，2x^2前面的系数2也是可以省略的。也就是说x->∞的时候，2x^2~x^2。

通过极限的思想，我们将函数f(x)=2x^2+2x+2，省略剩余项为x^2。也就是说x->∞时，f(x)=2x^2+2x+2=x^2；使用大O符号表示：x->无穷大，f(x)=O(x^2)。

2.2、概念

大O是用来刻画被截断的无穷级数尤其是渐近级数的剩余项。大O符号表示函数的渐进性上界。就好比上面的数学举例，函数f(x)=2x^2+2x+2 渐进级数的剩余项就是x^2，记作O(x^2)。也就是说O(x^2)是f(x)的渐进性上界。

时间复杂度

题目：求1+2+3+……+n的和。（高斯算法）

● 初级程序员的代码：

… …

    for (int i = 1; i <= n; i++) {

        sum+=i;

    }

… …

分析：

00001. 上述代码中的sum+=1执行多少次？ 答案：n次。

00002. int i=1执行1次。

00003. i<=n执行n+1次。（因为for循环执行的顺序，只有i大于n时才会停止循环，所以i=n+1的时候，还会再判断一下i<=n，所以相比较而言会多执行一次）。

00004. i++执行n次。

汇总一下，上述代码执行n+1+n+1+n=3n+2次。

如果用极限思维，n->∞，3n+2 ~ 3n ~ n；记作O(n)。O(n)就是上述代码的时间复杂度。

● 高级程序员的代码：

… …

   (1+n)*n/2

… …

如上，同样的计算1加到n，采用高斯算法就简单多了。上述代码只需要执行1次，没有循环。所以时间复杂度就是O(1)。

● 小结

O(1)和O(n)的区别是什么呢？当上述”初级程序员代码“和”高级程序员代码”中的变量n不断增大的时候，高斯算法的时间复杂度基本不变，还是O(1)。但是“初级程序员代码”的时间复杂度就会增加。

对于计算机来说，高斯算法求解1连续加到n的计算速度远远大于for循环的速度。速度越快，系统的性能就会越好。

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