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• 前言
• 一、复杂度
• 二、时间复杂度
• • (1) 定义
  • (2) 大O的渐进表示法
  • • 例子
• 三、空间复杂度
• • • 例子
• 四、常见复杂度对比
• 五、复杂度的oj练习
• 总结

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前言

如何衡量一个算法的好坏呢？我们一般用复杂度来形容。

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一、复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

二、时间复杂度

时间复杂度算的不是一个程序在某台机器上跑的时间，因为每个机器运算速率不一样，所以要脱离运行环境来考量算法。

(1) 定义

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，这里的函数是数学中带未知数函数式，它定量描述了该算法的运行时间。

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法
的时间复杂度。

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{int count = 0;
for (int i = 0; i< N ; ++ i)
{for (int j = 0; j< N ; ++ j)
    {++count;
    }
}
// N * N
    
for (int k = 0; k< 2 * N ; ++ k)
{++count;
}
// N
int M = 10;
while (M--)
{++count;
}
printf("%d\n", count);
}
// 10

//F(N) = N * N + 2 * N + 10

(2) 大O的渐进表示法

估算，大概次数所属量级，几次常数次操作，不扣细节即不管常数次操作有几次
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项，其他项对结果影响不大。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：

O(N^2^)
N = 10 F(N) = 100
N = 100 F(N) = 10000
N = 1000 F(N) = 1000000

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

例子

void Func2(int N)
{int count = 0;
    for (int k = 0; k< 2 * N ; ++ k)
    {++count;
    }
 	// 2 * N
    int M = 10;
    while (M--)
    {++count;
    }
    // 10
 
    printf("%d\n", count);
}

	//Fun2(N) = 2 * N + 10；
	//时间复杂度为O(N);

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{int count = 0;
    for (int k = 0; k< M; ++ k)
    {++count;
    }
 	//M
    for (int k = 0; k< N ; ++ k)
    {++count;
    }
    //N
    printf("%d\n", count);
    
}
	//Funce(N,M) = N + M;
    //时间复杂度为O(N + M);

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{int count = 0;
    for (int k = 0; k< 100; ++ k)
    {++count;
    }
    // 100
    printf("%d\n", count);
}
	//Func4(N) = 100;
	//时间复杂度为O(1); O(1) -- 代表常数次，因为现在计算机计算速度很快，一百次和一亿次一样快

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );
//strchr查找字符串中是否有*str,有的话返回该字符。
//strchar() = 最好:1 最坏:N 平均: (1+N)/2
//时间复杂度为O(N)

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);
    for (size_t end = n; end >0; --end)
    {int exchange = 0;
        for (size_t i = 1; i< end; ++i)
        {if (a[i-1] >a[i])
            {Swap(&a[i-1], &a[i]);
                exchange = 1;
            }
        }
 
        if (exchange == 0)
            break;
    }
}
// BubbleSort() = 最坏:(N - 1) + (N - 2) + ... + 1 = N * N / 2
//时间复杂度为O(N*N)

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{assert(a);
 
    int begin = 0;
    int end = n-1;
    // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
    while (begin<= end)
    {int mid = begin + ((end-begin)>>1);
        if (a[mid]< x)
            begin = mid+1;
        else if (a[mid] >x)
            end = mid-1;
        else
            return mid;
    }
 
    return -1;
}
//BinarySearch() = N/2/2/2.../2 = 1 每次查找，查找区间缩小一半，查抄多少次，就是除以2多少次，直到区间为1个元素，假设查找x次，N = 1 * 2 * 2 * ... * 2, N = 2^x, x = log(2)N
//时间复杂度为O(logN) (2)可以省略

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{if(0 == N)
        return 1;
    
    return Fac(N-1)*N;
}
//Fac() =  N; 
//时间复杂度为O(N);
long long Fac(size_t N)
{if(0 == N)
        return 1;
    for(size_t i = 0;i< N;++i){//...
    }
    return Fac(N-1)*N;
}
//Fac() = N + (N-1) + (N-2) + ... + 1;
//时间复杂度O(N*N)
//递归时间复杂度:每次递归调用的执行次数累加

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{if(N< 3)
        return 1;
    
    return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}
// Fib() = 2 * 2 * 2 * 2 * ... * 2 
// 时间复杂度为O(2^N);
// 空间复杂度O(N) 时间是一去不复返，空间是可以重复利用的

三、空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

例子

//计算Func4空间复杂度
void Func4(int N)
{int count = 0;
    for (int k = 0; k< 100; ++ k)
    {++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}
//Func4 = 2
//空间复杂度为O(1)

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);
    for (size_t end = n; end >0; --end)
    {int exchange = 0;
        //重复创建算一个变量
        for (size_t i = 1; i< end; ++i)
        {if (a[i-1] >a[i])
            {Swap(&a[i-1], &a[i]);
                exchange = 1;
            }
        }
 
        if (exchange == 0)
            break;
    }
}
// BubbleSort() = 3
// 空间复杂度为O(1)

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{if(n==0)
         return NULL;
    
    long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
    for (int i = 2; i<= n ; ++i)
    {fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
    }
 
    return fibArray;
}
//Fibonacci() = n+1
//空间复杂度为O(n)

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{if(N< 3)
        return 1;
    
    return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}
// Fib() = N
// 空间复杂度为O(N) 时间是一去不复返，空间是可以重复利用的

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{if(N == 0)
        return 1;
    
    return Fac(N-1)*N;
}
// Fac() = N
//空间复杂度为O(N)
//递归空间复杂度：每次递归调用的变量个数累加

四、常见复杂度对比

五、复杂度的oj练习

题目1

数组nums包含从0到n的所有整数，但其中缺了一个。请编写代码找出那个缺失的整数。你有办法在O(n)时间内完成吗？

注意：本题相对书上原题稍作改动

示例 1：

输入：[3,0,1]
输出：2

思路

//思路1
求和相减
(n + 1) * n / 2 - (数组的总和）
时间复杂度:O(N)
空间复杂度:O(1)

//思路2
qort排序
时间复杂度:O((logN) * N) (快排）
空间复杂度:O(logN)(快排)

//思路3
异或
时间复杂度：O(N)
空间复杂度：O(1)

题目2

给你一个数组，将数组中的元素向右轮转 k 个位置，其中 k 是非负数。

 

示例 1:

输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 3
输出: [5,6,7,1,2,3,4]
解释:
向右轮转 1 步: [7,1,2,3,4,5,6]
向右轮转 2 步: [6,7,1,2,3,4,5]
向右轮转 3 步: [5,6,7,1,2,3,4]

思路

思路1
三段逆置法
//将0到n-k-1逆置
//将n-k到numsSize-1逆置
//将0到numsSize-1逆置
时间复杂度：O(N)
空间复杂度：O(1)

思路2
将末尾元素移动到首元素，其余元素整体后移
时间复杂度：O(N * N)
空间复杂度：O(1)

思路3
将第k+1元素及其后面的元素拷贝到另一数组前面，再将第0个到第k个元素拷贝到数组后面
时间复杂度：O(N)
空间复杂度：O(N)

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总结

时间复杂度是基本操作次数的量度，空间复杂度是额外申请的变量总个数的量度

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网页标题：第二章：C语言数据结构与算法初阶之复杂度-创新互联
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